Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 97

\[\boxed{\mathbf{97}\mathbf{.}}\]

\[Основание:квадрат;\]

\[d = 3\sqrt{3};\]

\[h \in \lbrack 1,5;3,5\rbrack - высота.\]

\[Рисунок\ к\ задаче:\]

\[Пусть\ a - сторона\ квадрата\]

\[\ в\ основании.\]

\[V = abh = a \cdot a \cdot h = a^{2}\text{h.}\]

\[По\ теореме\ Пифагора:\]

\[a^{2} + a^{2} + h^{2} = \left( 3\sqrt{3} \right)^{2}\]

\[2a^{2} + h^{2} = 27\]

\[a^{2} = \frac{27 - h^{2}}{2}.\]

\[Подставим:\]

\[V = \frac{27 - h^{2}}{2} \cdot h;\]

\[V^{'} = \frac{1}{2}\left( 27 - 3h^{2} \right);\]

\[\frac{1}{2}\left( 27 - 3h^{2} \right) = 0\]

\[27 - 3h^{2} = 0\]

\[3h^{2} = 27\]

\[h^{2} = 9\]

\[h = \pm 3.\]

\[1,5 \leq h \leq 3,5:\]

\[h = 3 - точка\ максимума.\]

\[a^{2} = \frac{27 - 3^{2}}{2} = \frac{18}{2} = 9\]

\[a = 3.\]

\[Ответ:куб\ с\ ребром\ 3.\]