Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 96

\[\boxed{\mathbf{96}\mathbf{.}}\]

\[Рисунок\ к\ задаче:129.\]

\[d - диаметр\ бревна;\]

\[a - ширина\ основания\ \]

\[прямоугольной\ балки;\]

\[h - высота\ прямоугольной\ \]

\[балки;\]

\[прочность\ балки\]

\[\ пропорциональна\ ah^{2}.\]

\[По\ теореме\ Пифагора:\]

\[d^{2} = a^{2} + h^{2}\]

\[h^{2} = d^{2} - a^{2}\]

\[h = \sqrt{d^{2} - a^{2}}.\]

\[y = k \cdot ah^{2} = ka\left( \sqrt{d^{2} - a^{2}} \right)^{2} =\]

\[= ka\left( d^{2} - a^{2} \right);\]

\[y^{'} = kd^{2} - 3ka^{2};\]

\[kd^{2} - 3ka^{2} = 0\]

\[d^{2} - 3a^{2} = 0\]

\[a^{2} = \frac{1}{3}d^{2}\]

\[a = \pm \frac{d\sqrt{3}}{3}.\]

\[0 < a < d:\]

\[a = \frac{d\sqrt{3}}{3} - точка\ максимума.\]

\[h = \sqrt{d^{2} - a^{2}} =\]

\[= \sqrt{d^{2} - \left( \frac{d\sqrt{3}}{3} \right)^{2}} =\]

\[= \sqrt{d^{2} - \frac{3d^{2}}{9}} = \frac{d\sqrt{6}}{3}.\]

\[Ответ:при\ a = \frac{d\sqrt{3}}{3};\ \ h = \frac{d\sqrt{6}}{3}.\]