Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 95

\[\boxed{\mathbf{95}\mathbf{.}}\]

\[Рисунок\ к\ задаче:129.\]

\[d - диаметр\ бревна;\]

\[a - ширина\ основания\ \]

\[прямоугольной\ балки;\]

\[h - высота\ прямоугольной\]

\[\ балки.\]

\[По\ теореме\ Пифагора:\]

\[d^{2} = a^{2} + h^{2}\]

\[h^{2} = d^{2} - a^{2}\]

\[h = \sqrt{d^{2} - a^{2}}.\]

\[Площадь\ сечения\ балки:\]

\[S_{сеч} = a\sqrt{d^{2} - a^{2}};\]

\[S^{'} = a^{'} \cdot \sqrt{d^{2} - a^{2}} +\]

\[+ a \cdot \left( \sqrt{d^{2} - a^{2}} \right)^{'} = \sqrt{d^{2} - a^{2}} +\]

\[+ a \cdot \frac{- 2a}{2\sqrt{d^{2} - a^{2}}} =\]

\[= \sqrt{d^{2} - a^{2}} - \frac{a^{2}}{\sqrt{d^{2} - a^{2}}} =\]

\[= \frac{d^{2} - a^{2} - a^{2}}{\sqrt{d^{2} - a^{2}}} = \frac{d^{2} - 2a^{2}}{\sqrt{d^{2} - a^{2}}};\]

\[\frac{d^{2} - 2a^{2}}{\sqrt{d^{2} - a^{2}}} = 0\]

\[d^{2} - 2a^{2} = 0\]

\[a = \pm \frac{d\sqrt{2}}{2}.\]

\[0 < a < d:\]

\[a = \frac{d\sqrt{2}}{2} - точка\ максимума.\]

\[h = \sqrt{d^{2} - a^{2}} =\]

\[= \sqrt{d^{2} - \left( \frac{d\sqrt{2}}{2} \right)^{2}} =\]

\[= \sqrt{d^{2} - \frac{d^{2}}{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}.\]

\[Ответ:наибольшую\ площадь\ \]

\[сечение\ балки\ будет\ иметь\ \]

\[при\]

\[a = \frac{d\sqrt{2}}{2};\ \ h = \frac{d\sqrt{2}}{2}.\]