Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 90

\[\boxed{\mathbf{90}\mathbf{.}}\]

\[f(x) = \frac{b - x}{\sqrt{x^{2} + 1}};\ \ b < 0;\ \ \lbrack 1;2\rbrack\]

\[Определена\ для\ всех\ x\ из\]

\[\ данного\ интервала.\]

\[f^{'}(x) =\]

\[= \frac{- 1 \cdot \sqrt{x^{2} + 1} - (b - x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2x}{\left( \sqrt{x^{2} + 1} \right)^{2}} =\]

\[= \frac{- x^{2} - 1 - (b - x)x}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}} =\]

\[= \frac{- 1 - bx}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}};\]

\[\frac{- 1 - bx}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}} = 0\]

\[- 1 - bx = 0\]

\[bx = - 1\]

\[x = - \frac{1}{b} \rightarrow единственная\]

\[\ критическая\ точка\ на\ \]

\[отрезке;в\ ней\]

\[достигается\ наименьшее\ \]

\[значение\ функции.\]

\[- 1 < - \frac{1}{b} < 2\]

\[- 1 < b < - 0,5:\]

\[функция\ имеет\ единственную\ \]

\[критическую\ точку\ на\ \]

\[данном\ отрезке.\]

\[f(1) = \frac{b - 1}{\sqrt{2}};\]

\[f\left( - \frac{1}{b} \right) = \frac{b + \frac{1}{b}}{\sqrt{\frac{1}{b^{2}} + 1}} =\]

\[= \frac{b^{2} + 1}{\sqrt{1 + b^{2}}} = \sqrt{b^{2} + 1};\]

\[f(2) = \frac{b - 2}{\sqrt{5}}.\]

\[\sqrt{b^{2} + 1} < \frac{b - 1}{\sqrt{2}};\]

\[\sqrt{b^{2} + 1} < \frac{b - 2}{\sqrt{5}}.\]

\[b \leq - 1:\]

\[\min{f(x)} = f(1) = \frac{b - 1}{\sqrt{2}}.\]

\[- 1 < b < - 0,5:\]

\[\min{f(x)} = f\left( - \frac{1}{b} \right) = \sqrt{b^{2} + 1.}\]

\[\frac{1}{2} \leq b < 0:\]

\[\min{f(x)} = f(2) = \frac{b - 2}{\sqrt{5}}.\]