Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 89

\[\boxed{\mathbf{89}\mathbf{.}}\]

\[f(x) = \frac{x + b}{\sqrt{x^{2} + 1}};\ \ \ b > 0;\ \ \lbrack 1;2\rbrack\]

\[Функция\ определена\ для\ всех\ \]

\[\text{x\ }из\ данного\ интервала.\]

\[f^{'}(x) =\]

\[= \frac{1 \cdot \sqrt{x^{2} + 1} - (x + b) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot 2x}{\left( \sqrt{x^{2} + 1} \right)^{2}} =\]

\[= \frac{x^{2} + 1 - (x + b)x}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}} =\]

\[= \frac{x^{2} + 1 - x^{2} - bx}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 - bx}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}}.\]

\[\frac{1 - bx}{\left( x^{2} + 1 \right)^{\frac{3}{2}}} = 0\]

\[1 - bx = 0\]

\[bx = 1\]

\[x = \frac{1}{b} \rightarrow единственная\ \]

\[критическая\ точка\ на\ отрезке.\]

\[f(1) = \frac{1 + b}{\sqrt{2}};\]

\[f(2) = \frac{2 + b}{\sqrt{5}}.\]

\[b \geq 1:\]

\[\max{f(x)} = f(1) = \frac{1 + b}{\sqrt{2}}.\]

\[1 < \frac{1}{b} < 2 \rightarrow \frac{1}{2} < b < 1:\]

\[функция\ имеет\ единственную\]

\[\ критическую\ точку.\]

\[f\left( \frac{1}{b} \right) = \frac{\frac{1}{b} + b}{\sqrt{\frac{1}{b^{2}} + 1}} = \frac{1 + b^{2}}{\sqrt{1 + b^{2}}} =\]

\[= \sqrt{1 + b^{2}};\]

\[\max{f(x)} = f\left( \frac{1}{b} \right) = \sqrt{1 + b^{2}}.\]