Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 70

\[\boxed{\mathbf{70}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ f(x) = (x + 2)^{n}\]

\[f^{'}(x) = n(x + 2)^{n - 1};\]

\[f^{''}(x) = n(n - 1)(x + 2)^{n - 2};\]

\[f^{(n)}(x) =\]

\[= n(n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \cdot (x + 2)^{n - n} =\]

\[= n!\]

\[\textbf{б)}\ f(x) = e^{x};\]

\[f^{'}(x) = e^{x};\]

\[f^{(n)}(x) = e^{x}.\]

\[\textbf{в)}\ f(x) = 3^{x};\]

\[f^{'}(x) = 3^{x}\ln 3;\]

\[f^{''}(x) = 3^{x}\ln 3 \cdot \ln 3 = 3^{x}\left( \ln 3 \right)^{2};\]

\[f^{(n)}(x) =\]

\[= 3^{x} \cdot \underset{\text{n\ }раз}{\overset{\ln 3 \cdot \ln 3 \cdot \ldots \cdot \ln 3}{︸}} =\]

\[= 3^{x}\left( \ln 3 \right)^{n}.\]

\[\textbf{г)}\ f(x) = (x - 2)^{n};\]

\[f'(x) = n(x - 2)^{n - 1};\]

\[f^{''}(x) = n(n - 1)(x - 2)^{n - 2};\]

\[f^{(n)}(x) =\]

\[= n(n - 1) \cdot \ldots \cdot 1 \cdot (x - 2)^{n - n} =\]

\[= n!\]