Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 59

\[\boxed{\mathbf{59.}}\]

\[f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - 8x + 1;\ \ x \in R\]

\[f^{'}(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{2} - 2x - 8 =\]

\[= x^{2} - 2x - 8;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[x^{2} - 2x - 8 = 0\]

\[D_{1} = 1 + 8 = 9\]

\[x_{1} = 1 + 3 = 4;\]

\[x_{2} = 1 - 3 = - 2.\]

\[f^{'}(x) > 0:\]

\[x \leq - 2;\ \ x \geq 4.\]

\[f^{'}(x) < 0:\]

\[- 2 \leq x \leq 4.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[x \leq - 2;\ \ x \geq 4.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[- 2 \leq x \leq 4.\]

\[x = - 2 \rightarrow точка\ максимума;\]

\[x = 4 \rightarrow точка\ минимума.\ \]

\[При\ x = - 2:\]

\[y_{\max} = \frac{1}{3} \cdot ( - 8) - 4 + 16 + 1 =\]

\[= - \frac{8}{3} + 13 = - 2\frac{2}{3} + 13 = 10\frac{1}{3};\]

\[При\ x = 4:\]

\[y_{\min} = \frac{1}{3} \cdot 64 - 16 - 32 + 1 =\]

\[= \frac{64}{3} - 47 = 21\frac{1}{3} - 47 = - 25\frac{2}{3}.\]

\[Функция\ на\ отрезке\ \lbrack - 1;3\rbrack\ \]

\[имеет\ один\ нуль.\]

\[На\ промежутке\ ( - \infty;\ + \infty)\ \]

\[функция\ имеет\ 3\ нуля.\]

\[Локальный\ экстремум:\]

\[x = - 2;\ \ x = 4.\]