Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 60
Задание 60
\[\boxed{\mathbf{60.}}\]
\[\textbf{а)}\ f(x) = \frac{x}{x^{2} + 5};\ \ \]
\[f^{'}(x) = \frac{x^{'}\left( x^{2} + 5 \right) - x\left( x^{2} + 5 \right)^{'}}{\left( x^{2} + 5 \right)^{2}} =\]
\[= \frac{x^{2} + 5 - x \cdot 2x}{\left( x^{2} + 5 \right)^{2}} = \frac{- x^{2} + 5}{\left( x^{2} + 5 \right)^{2}};\]
\[f^{'}(x) = 0\]
\[- x^{2} + 5 = 0\]
\[x^{2} = 5\]
\[x = \pm \sqrt{5}.\]
\[f^{'}(x) > 0:\]
\[- \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]
\[f^{'}(x) < 0:\]
\[x \leq - \sqrt{5};\ \ x \geq \sqrt{5}.\]
\[Функция\ убывает:\]
\[x \leq - \sqrt{5};\ \ x \geq \sqrt{5}.\]
\[Функция\ возрастает:\]
\[- \sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5}.\]
\[Экстремумы\ функции.\]
\[x = - \sqrt{5}:\]
\[y_{\min} = \frac{- \sqrt{5}}{\left( - \sqrt{5} \right)^{2} + 5} = \frac{- \sqrt{5}}{5 + 5} =\]
\[= - \frac{\sqrt{5}}{10}.\]
\[x = \sqrt{5}:\]
\[y_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{\left( \sqrt{5} \right)^{2} + 5} = \frac{\sqrt{5}}{10}\text{.\ }\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x}{x^{2} + 5} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x^{2} + 5}{x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{5}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{1 + \frac{5}{x}} =\]
\[= \frac{1}{+ \infty} = 0;\]
\[значит,\ в\ точке\ x = \sqrt{5}\ функция\]
\[\ достигает\ наивысшего\ \]
\[значения,\]
\[так\ как\ y_{\max} = \frac{\sqrt{5}}{10} > 0.\]
\[\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x}{x^{2} + 5} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{x}{x}}{\frac{x^{2} + 5}{x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{5}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{1 + \frac{5}{x}} =\]
\[= \frac{1}{- \infty} = 0;\]
\[значит,\ в\ точке\ x = - \sqrt{5}\ \]
\[функция\ достигает\ \]
\[наименьшего\ значения,\]
\[так\ как\ y_{\min} = - \frac{\sqrt{5}}{10} < 0.\]
\[Точки\ локального\ экстремума:\]
\[x = - \sqrt{5};\ \ x = \sqrt{5}.\]
\[Функция\ достигает\ \]
\[наибольшего\ (наименьшего)\ \]
\[значения\ в\ точках\]
\[локального\ экстремума.\]
\[\textbf{б)}\ f(x) = \frac{- 4x}{x^{2} + 1};\]
\[f^{'}(x) = \frac{( - 4x)^{'}\left( x^{2} + 1 \right) + 4x\left( x^{2} + 1 \right)^{'}}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} =\]
\[= \frac{- 4\left( x^{2} + 1 \right) + 4x \cdot 2x}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} =\]
\[= \frac{- 4x^{2} - 4 + 8x^{2}}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} = \frac{4x^{2} - 4}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}};\]
\[f^{'}(x) = 0:\]
\[4x^{2} - 4 = 0\]
\[4x^{2} = 4\]
\[x^{2} = 1\]
\[x = \pm 1.\]
\[f^{'}(x) > 0:\]
\[x \leq - 1;\ \ x \geq 1.\]
\[f^{'}(x) < 0:\]
\[- 1 \leq x \leq 1.\]
\[Функция\ убывает:\]
\[- 1 \leq x \leq 1.\]
\[Функция\ возрастает:\]
\[x \leq - 1;x \geq 1.\]
\[Экстремумы\ функции.\]
\[x = 1:\]
\[y_{\min} = \frac{- 4 \cdot 1}{1^{2} + 1} = - 2.\]
\[x = - 1:\]
\[y_{\max} = \frac{- 4 \cdot ( - 1)}{( - 1)^{2} + 1} = 2.\ \]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4x}{x^{2} + 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{- 4x}{x}}{\frac{x^{2} + 1}{x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{1 + \frac{1}{x}} =\]
\[= \frac{- 4}{+ \infty} = 0;\]
\[значит,\ в\ точке\ x = - 1\ функция\]
\[\ достигает\ наивысшего\]
\[\ значения,\]
\[так\ как\ y_{\max} = 2 > 0.\]
\[\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{- 4x}{x^{2} + 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{- 4x}{x}}{\frac{x^{2} + 1}{x}} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{- 4}{1 + \frac{1}{x}} =\]
\[= \frac{1}{- \infty} = 0;\]
\[значит,\ в\ точке\ x = 1\ функция\ \]
\[достигает\ наименьшего\ \]
\[значения,\]
\[так\ как\ y_{\min} = - 2 < 0.\]
\[Точки\ локального\ экстремума:\]
\[x = - 1;\ \ x = 1.\]
\[Функция\ достигает\ \]
\[наибольшего\ (наименьшего)\]
\[\ значения\ в\ точках\]
\[локального\ экстремума.\]
