Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 57

\[\boxed{\mathbf{57.}}\]

\[\textbf{а)}\ y = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 6;\ \ \]

\[x \in R\]

\[y^{'} = 6x^{2} - 6x - 12;\]

\[6x^{2} - 6x - 12 = 0\]

\[x^{2} - 1 - 2 = 0\]

\[(x + 1)(x - 2) = 0\]

\[Критические\ точки:\]

\[x_{1} = - 1;\ \ x_{2} = 2.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[x \leq - 1;\ \ x \geq 2.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[- 1 \leq x \leq 2.\]

\[\textbf{б)}\ y = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 3;\ \ x \in R\]

\[y^{'} = 3x^{2} - 12x + 9;\]

\[3x^{2} - 12x + 9 = 0\]

\[x^{2} - 4x + 3 = 0\]

\[D_{1} = 4 - 3 = 1\]

\[x_{1} = 2 + 1 = 3;\]

\[x_{2} = 2 - 1 = 1.\]

\[Критические\ точки:\]

\[x = 1;\ \ x = 3.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[x \leq 1;\ \ x \geq 3.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[1 \leq x \leq 3.\]

\[\textbf{в)}\ y = x^{2} - 2\ln x;\ \ x > 0\]

\[y^{'} = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2x^{2} - 2}{x};\ \ \ x \neq 0\]

\[2x^{2} - 2 = 0\]

\[2\left( x^{2} - 1 \right) = 0\]

\[x^{2} - 1 = 0\]

\[x^{2} = 1\]

\[x = \pm 1.\]

\[Критические\ точки:\ \]

\[x = 1.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[x \geq 1.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[0 < x \leq 1.\]

\[\textbf{г)}\ y = \ln x - 2x^{2};\ \ x > 0\]

\[y^{'} = \frac{1}{x} - 4x = \frac{1 - 4x^{2}}{x};\ \ x \neq 0\]

\[1 - 4x^{2} = 0\]

\[4x^{2} = 1\]

\[x^{2} = \frac{1}{4}\]

\[x = \pm \frac{1}{2}.\]

\[Критические\ точки:\]

\[x = \frac{1}{2}.\]

\[Функция\ возрастает:\]

\[0 < x \leq \frac{1}{2}.\]

\[Функция\ убывает:\]

\[x \geq \frac{1}{2}.\]