Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 120

\[\boxed{\mathbf{120}\mathbf{.}}\]

\[y = \frac{\ln x}{x};\]

\[D(y) = (0; + \infty);\]

\[ни\ четная,\ ни\ нечетная;\]

\[x = e - критическая\ точка;\]

\[возрастает\ на\ (0;e\rbrack;\]

\[убывает\ на\ \lbrack e; + \infty);\]

\[выпукла\ вверх\ при\ \left( 0;e\sqrt{e} \right);\]

\[выпукла\ вниз\ при\ \left( e\sqrt{e};0 \right);\]

\[x = e\sqrt{e} - точка\ перегиба;\]

\[x = 0 - вертикальная\ \]

\[асимптота;\]

\[y = 0 - горизонтальная\ \]

\[асимптота.\]

\[\textbf{а)}\ 3^{\pi}\ и\ \ \pi^{3}\]

\[\ln 3^{\pi} = \pi\ln 3 = \frac{\ln 3}{3};\]

\[\ln\pi^{3} = 3\ln\pi = \frac{\ln\pi}{\pi};\]

\[\frac{\ln 3}{3} > \frac{\ln\pi}{\pi};так\ как\ на\ отрезке\ \]

\[\lbrack e; + \infty)\ функция\ убывает;\]

\[3^{\pi} > \pi^{3}.\]

\[\textbf{б)}\ e^{3}\ и\ \ 3^{e}\]

\[\ln 3^{e} = e\ln 3 = \frac{\ln 3}{3};\]

\[\ln e^{3} = 3\ln e = \frac{\ln e}{e};\]

\[\frac{\ln 3}{3} < \frac{\ln e}{e};\ \ \]

\[так\ как\ x = e - точка\ \]

\[максимума;\]

\[e^{3} > 3^{e}.\]

\[\textbf{в)}\ e^{\pi}\ и\ \ \pi^{e}\]

\[\ln\pi^{e} = e\ln\pi = \frac{\ln\pi}{\pi};\]

\[\ln e^{\pi} = \pi\ln e = \frac{\ln e}{e};\]

\[\frac{\ln\pi}{\pi} < \frac{\ln e}{e};\ так\ как\ \]

\[x = e - точка\ максимума;\]

\[\ e^{\pi} > \pi^{e}.\]