Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 116

\[\boxed{\mathbf{116}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ y = \frac{x}{9}(4 + x)^{3};\]

\[y^{'} = \frac{4}{9}(4 + x)^{2}(x + 1);\]

\[\frac{4}{9}(4 + x)^{2}(x + 1) = 0\]

\[x = - 4;\ \ x = - 1.\]

\[Возрастает\ на\ \lbrack - 1;\ + \infty);\]

\[убывает\ на\ ( - \infty; - 1\rbrack.\]

\[x = - 1 \rightarrow точка\ экстремума:\]

\[y( - 1) = - \frac{1}{9}(4 - 1)^{3} = - 3;\]

\[( - 1; - 3).\]

\[y^{''} = \frac{4}{3}(4 + x)(x + 2);\]

\[\frac{4}{3}(4 + x)(x + 2) = 0\]

\[x = - 4;x = - 2 \rightarrow точки\ \]

\[перегиба.\]

\[Выпукла\ вниз\ при\ ( - \infty; - 4\rbrack\ и\ \]

\[\lbrack - 2; + \infty);\]

\[выпукла\ вверх\ при\ \lbrack - 4; - 2\rbrack.\]

\[\textbf{б)}\ y = \frac{1}{x^{2}} - 2x;\]

\[y^{'} = - \frac{2}{x^{3}} - 2;\]

\[- \frac{2}{x^{3}} - 2 = 0\]

\[- \frac{2}{x^{3}} = 2\]

\[x^{3} = - 1\]

\[x = - 1.\]

\[Возрастает\ на\ \lbrack - 1;\ 0)\ и\ \]

\[(0; + \infty);\]

\[убывает\ на\ ( - \infty; - 1\rbrack.\]

\[x = - 1 \rightarrow точка\ экстремума:\]

\[y( - 1) = 1 + 2 = 3;\]

\[( - 1;3).\]

\[x = 0 - вертикальная\ \]

\[асимптота;\]

\[y = - 2x \rightarrow наклонная\ \]

\[асимптота.\]