Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 113

\[\boxed{\mathbf{113}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ y = \frac{1}{4}x^{2} \cdot (x - 4)^{2}\]

\[= \frac{1}{2}x(x - 4)(2x - 4) =\]

\[= x(x - 4)(x - 2);\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[x(x - 4)(x - 2) = 0.\]

\[Критические\ точки:\]

\[x = 0;\ \ x = 4;\ \ \ x = 2.\]

\[f(0) = 0;\]

\[f(2) = 4;\]

\[f(4) = 0.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[(0;0);\ \ (2;4);\ \ (4;0).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[0 \leq x \leq 2;\ \]

\[x \geq 4.\]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[x \leq 0;\ \ \]

\[2 \leq x \leq 4.\]

\[\textbf{б)}\ y = 4x^{2}(x - 2)^{2};\]

\[= 8x(x - 2)(2x - 2) =\]

\[= 16x(x - 2)(x - 1);\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[16x(x - 2)(x - 1) = 0.\]

\[Критические\ точки:\]

\[x = 0;\ \ x = 2;\ \ \ x = 1.\]

\[f(0) = 0;\]

\[f(2) = 0;\]

\[f(1) = 4.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[(0;0);\ \ (1;4);\ \ (2;0).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[0 \leq x \leq 1;\ \]

\[x \geq 2.\]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[x \leq 0;\ \ \]

\[1 \leq x \leq 2.\]