Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 4. Производная Задание 6

\[\boxed{\mathbf{6}\mathbf{.}}\]

\[\mathbf{а)\ Приращением\ аргумента}\]

\[\mathbf{\ называется\ величина,\ равная\ }\]

\[\mathbf{разности\ }\]

\[\mathbf{между\ конечным\ и\ начальным}\]

\[\mathbf{\ значениями\ аргумента:}\]

\[\mathrm{\Delta}x = x - x_{0}.\]

\[\mathbf{П}\mathbf{риращением\ функции\ }\]

\[\mathbf{называется\ величина,\ равная}\]

\[\mathbf{\ разности\ между}\]

\[\mathbf{конечным\ и\ начальным\ }\]

\[\mathbf{значениями\ функции:}\]

\[\mathrm{\Delta}f(x) = f(x) - f\left( x_{0} \right) =\]

\[= f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) + f\left( x_{0} \right).\]

\[Пусть\ функция\ y = f(x)\ \]

\[определена\ в\ точке\ \text{x\ }и\ \]

\[в\ некоторой\ ее\]

\[окрестности.\ \ Дадим\ аргументу\ \]

\[\text{x\ }приращение\ \mathrm{\Delta}x\ такое,\ чтобы\ \]

\[не\]

\[выйти\ из\ указанной\ \]

\[окрестности.\ Найдем\ \]

\[соответствующее\ \]

\[приращение\ функции\ \mathrm{\Delta}y\ и\ \]

\[составим\ соотношение\ \frac{\mathrm{\Delta}y}{\mathrm{\Delta}x}.\]

\[Если\ существует\ предел\ этого\ \]

\[отношения\ при\ \mathrm{\Delta}x \rightarrow 0,\ то\]

\[указанный\ предел\ называют\ \]

\[производной\ функции\]

\[\ y = f(x)\ в\ точке\ x\]

\[и\ обозначают\ f^{'}(x)\text{.\ }Иначе:\ \ \]

\[f^{'}(x) = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}f}{\mathrm{\Delta}x}.\]

\[\textbf{б)}\ Чтобы\ найти\ производную\ \]

\[функции\ в\ точке\ x,\ нужно\]

\[\ найти\]

\[предел\ отношения\ приращения\]

\[\ функции\ к\ приращению\ \]

\[аргумента\]

\[при\ \mathrm{\Delta}x \rightarrow 0:\ \]

\[f^{'}(x) = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\mathrm{\Delta}f}{\mathrm{\Delta}x}.\]