Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 5
Задание 5
\[\boxed{\mathbf{5.}}\]
\[\textbf{а)}\ \lim_{x \rightarrow + \infty}{( - 1)^{\lbrack x\rbrack} \cdot x^{3}}\]
\[\lbrack x\rbrack - целое\ число;\]
\[если\ четное,\ то\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}x^{3} = + \infty;\]
\[если\ нечетное,\ то\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}{- x^{3}} = - \infty.\ \]
\[Значит:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}{( - 1)^{\lbrack x\rbrack} \cdot x^{3}} = \infty.\]
\[\textbf{б)}\ \lim_{x \rightarrow - \infty}{( - 1)^{\lbrack x\rbrack} \cdot x^{3}}\]
\[\lbrack x\rbrack - целое\ число;\]
\[если\ четное,\ то\]
\[\lim_{x \rightarrow - \infty}x^{3} = - \infty;\]
\[если\ нечетное,\ то\]
\[\lim_{x \rightarrow - \infty}{- x^{3}} = + \infty.\ \]
\[Значит:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}{( - 1)^{\lbrack x\rbrack} \cdot x^{3}} = \infty.\]
\[\textbf{в)}\ \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{( - 1)^{\left\lbrack \frac{1}{x} \right\rbrack}}{x}\ \]
\[Пусть\ \frac{1}{x} = y:\]
\[\lbrack y\rbrack - четное,\ тогда\]
\[\lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{( - 1)^{\lbrack y\rbrack}}{x} = \lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{1}{\frac{1}{y}} = + \infty;\]
\[\lbrack y\rbrack - нечетное,\ тогда\]
\[\lim_{y \rightarrow - \infty}\frac{( - 1)^{\lbrack y\rbrack}}{x} = \lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{- 1}{\frac{1}{y}} = - \infty.\]
\[Значит:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{( - 1)^{\left\lbrack \frac{1}{x} \right\rbrack}}{x} \rightarrow \infty.\]
\[\textbf{г)}\ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{( - 1)^{\left\lbrack \frac{1}{x} \right\rbrack}}{x^{2}}\]
\[Пусть\ \frac{1}{x} = y:\]
\[\lbrack y\rbrack - четное,\ тогда\]
\[\lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{( - 1)^{\lbrack y\rbrack}}{\left( \frac{1}{y} \right)^{2}} = \lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{1}{\left( \frac{1}{y} \right)^{2}} = + \infty;\]
\[\lbrack y\rbrack - нечетное,\ тогда\]
\[\lim_{y \rightarrow - \infty}\frac{( - 1)^{\lbrack y\rbrack}}{\left( \frac{1}{y} \right)^{2}} = \lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{- 1}{\frac{1}{y^{2}}} = - \infty.\]
\[Значит:\]
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{( - 1)^{\left\lbrack \frac{1}{x} \right\rbrack}}{x^{2}} \rightarrow \infty.\]
\[\textbf{д)}\ \lim_{x \rightarrow + \infty}( - 2)^{\lbrack x\rbrack}\]
\[Если\ \lbrack x\rbrack - нечетное:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}( - 2)^{\lbrack x\rbrack} = - \lim_{x \rightarrow + \infty}(2)^{\lbrack x\rbrack} =\]
\[= - \infty;\]
\[если\ \lbrack x\rbrack - четное:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}( - 2)^{\lbrack x\rbrack} = \lim_{x \rightarrow + \infty}(2)^{\lbrack x\rbrack} = + \infty.\]
\[Значит:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}( - 2)^{\lbrack x\rbrack} = \infty.\]
\[\textbf{е)}\ \lim_{x \rightarrow + \infty}( - \pi)^{\lbrack x\rbrack}\]
\[Если\ \lbrack x\rbrack - нечетное:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}( - \pi)^{\lbrack x\rbrack} = - \lim_{x \rightarrow + \infty}(\pi)^{\lbrack x\rbrack} =\]
\[= - \infty;\]
\[если\ \lbrack x\rbrack - четное:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}( - \pi)^{\lbrack x\rbrack} = \lim_{x \rightarrow + \infty}(\pi)^{\lbrack x\rbrack} = + \infty.\]
\[Значит:\]
\[\lim_{x \rightarrow + \infty}( - \pi)^{\lbrack x\rbrack} = \infty.\]
