Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 40
Задание 40
\[\boxed{\mathbf{40}\mathbf{.}}\]
\[\textbf{а)}\ y = \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{|x|};\ \ \ x \neq 0 \\ 0;\ \ \ \ \ \ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Функция\ имеет\ разрыв\ в\]
\[\ точке\ x = 0.\]
\[Функцию\ доопределили\ в\ этой\]
\[\ точке,\ положив\ y = 0\ при\]
\[\ x = 0.\]
\[y = \left\{ \begin{matrix} 1;\ \ \ \ \ x > 0 \\ 0;\ \ \ \ \ x = 0 \\ - 1;\ \ x < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Точка\ разрыва:\]
\[x = 0.\]
\[\textbf{б)}\ y = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sin x}{x};\ \ \ x \neq 0 \\ 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Не\ имеет\ разрывов.\]
\[\textbf{в)}\ y = \left\{ \begin{matrix} \sin\left( \frac{1}{x} \right);\ \ \ \ \ \ \ x \neq 0 \\ a;\ \ \ x = 0\ (a \in R) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[y = \sin\left( \frac{1}{x} \right) - имеет\ разрыв\ в\]
\[\ точке\ x = 0.\]
\[Функцию\ можно\ доопределить\]
\[\ в\ любой\ точке.\]
\[Точка\ разрыва:\]
\[x = 0.\]
\[\textbf{г)}\ y = \left\{ \begin{matrix} x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right);\ \ \ x \neq 0 \\ 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Не\ имеет\ разрывов.\]
\[\textbf{д)}\ y = \left\{ \begin{matrix} x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right);\ \ \ x \neq 0 \\ 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[y = x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right) - имеет\ разрыв\]
\[\ в\ точке\ x = 0.\]
\[Функцию\ можно\ доопределить\]
\[\ в\ любой\ точке.\]
\[Точка\ разрыва:\]
\[x = 0.\]
\[\textbf{е)}\ y = \left\{ \begin{matrix} \text{arctg}\left( \frac{1}{x} \right);\ \ \ \ x \neq 0 \\ a;\ \ \ \ \ \ x = 0\ (a \in R) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[y = arctg\ \left( \frac{1}{x} \right) - имеет\ разрыв\ \]
\[в\ точке\ x = 0.\]
\[Функцию\ можно\ доопределить\]
\[\ в\ любой\ точке.\]
\[Точка\ разрыва:\]
\[x = 0.\]
\[\textbf{ж)}\ y = \left| \left\{ x \right\} - \frac{1}{2} \right|\]
\[Не\ имеет\ разрывов.\]
\[\textbf{з)}\ y = \left\{ \begin{matrix} \frac{\left| \sin x \right|}{\sin x};\ \ x \neq \pi n \\ 0;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \pi n \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \ n \in Z\]
\[y = \frac{\left| \sin x \right|}{\sin x} - имеет\ разрыв\ в\ \]
\[точке\ x = \pi k;\ \ x \in Z.\]
\[Функцию\ можно\ доопределить\]
\[\ в\ любой\ точке.\]
\[Точка\ разрыва:\]
\[x = \pi k;\ \ x \in Z.\]
