Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 41

\[\boxed{\mathbf{41}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ f(x) = \frac{x^{2} - 5x + 4}{x - 1};\ \ \ x_{0} = 1\]

\[x^{2} - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)\]

\[x_{1} + x_{2} = 5;\ \ \ x_{1} \cdot x_{2} = 4\]

\[x_{1} = 1;\ \ x_{2} = 4.\]

\[x = 1 - единственная\ точка\ \]

\[разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]

\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ \]

\[не\ определена.\]

\[При\ x \rightarrow x_{0} = 1:\]

\[\lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2} - 5x + 4}{x - 1} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x - 4)(x - 1)}{x - 1} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow 1}(x - 4) = 1 - 4 = - 3.\]

\[f(1) = - 3;\]

\[\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)} = f(1);\]

\[значит,\ в\ этой\ точке\ будет\]

\[\ выполняться\ условие\ \]

\[непрерывности.\]

\[Функцию\ можно\ доопределить\]

\[\ таким\ образом,\ чтобы\]

\[\ новая\ функция\]

\[стала\ непрерывной,\ установив\]

\[\text{\ f}(1) = - 3.\]

\[\textbf{б)}\ y = \frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} =\]

\[= x - 2;\ \ \ x_{0} = - 2;\ \]

\[x = - 2 - единственная\ точка\]

\[\ разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]

\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ не\]

\[\ определена.\]

\[При\ x \rightarrow x_{0} = - 2:\]

\[\lim_{x \rightarrow - 2}\frac{x^{2} - 4}{x + 2} = \lim_{x \rightarrow - 2}(x - 2) =\]

\[= - 2 - 2 = - 4.\]

\[f( - 2) = - 4;\]

\[\lim_{x \rightarrow 1}{f(x)} = f( - 2);\]

\[значит,\ в\ этой\ точке\ будет\ \]

\[выполняться\ условие\ \]

\[непрерывности.\]

\[Функцию\ можно\ доопределить\]

\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]

\[функция\]

\[стала\ непрерывной,\ установив\ \]

\[f( - 2) = - 4.\]

\[\textbf{в)}\ f(x) = \frac{12 - x}{x} = \frac{12}{x} - \frac{x}{x} =\]

\[= \frac{12}{x} - 1;\ \ x_{0} = 0\]

\[x = 0 - единственная\ точка\ \]

\[разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]

\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ не\]

\[\ определена.\]

\[При\ x \rightarrow x_{0} = 0:\]

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{12 - x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0}\left( \frac{12}{x} - 1 \right) = \infty.\]

\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\]

\[\ значением\ ни\ была\ бы\]

\[\ доопределена\ \]

\[функция\ f(x)\ в\ точке\ x_{0} = 0,\ \]

\[равенство\ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f(0)\]

\[выполняться\ не\ будет.\]

\[Функцию\ нельзя\ доопределить\]

\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\]

\[\ функция\]

\[стала\ непрерывной.\]

\[\textbf{г)}\ f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 2};\ \ \ x_{0} = 2.\]

\[x = 2 - единственная\ точка\ \]

\[разрыва,\ так\ как\ знаменатель\ \]

\[обращается\ в\ 0\ и\ функция\ не\]

\[\ определена.\]

\[При\ x \rightarrow x_{0} = 2:\]

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^{2} - 1}{x - 2} = \infty.\]

\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\ \]

\[значением\ ни\ была\ бы\]

\[\ доопределена\ \]

\[функция\ f(x)\ в\ точке\ x_{0} = 2,\]

\[\ равенство\ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f(2)\]

\[выполняться\ не\ будет.\]

\[Функцию\ нельзя\ доопределить\ \]

\[таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]

\[функция\]

\[стала\ непрерывной.\]

\[\textbf{д)}\ f(x) = \cos xtg\ x;\ \ x_{k} = \frac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[\ \ k \in Z\]

\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}{\cos x\text{tg\ x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}{\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}{\sin x} = \sin\left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right) =\]

\[= \left\{ \begin{matrix} 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ - 1;\ \ x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Функцию\ можно\ доопределить\ \]

\[таким\ образом,\ чтобы\ новая\]

\[\ функция\]

\[стала\ непрерывной.\]

\[\textbf{е)}\ f(x) = \sin xctg\ x;\ \ \]

\[x_{k} = \pi k;\ k \in Z;\ \]

\[\lim_{x \rightarrow \pi k}{\sin x\text{ctg\ x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow \pi k}{\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} =\]

\[= \lim_{x \rightarrow \pi k}{\cos x} = \cos\text{πk} =\]

\[= \left\{ \begin{matrix} 1;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = 2\pi k \\ - 1;\ \ x = \pi + 2\pi k \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Функцию\ можно\ доопределить\ \]

\[таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]

\[функция\]

\[стала\ непрерывной.\]

\[\textbf{ж)}\ f(x) = tg\ (x);\ \ x_{k} = \frac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[\ \ k \in Z\]

\[\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}\text{tg\ x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2} + \pi k}\frac{\sin x}{\cos x} = \infty.\]

\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\ \]

\[значением\ ни\ была\ бы\]

\[\ доопределена\ \]

\[функция\ f(x)\ в\ точках\ \]

\[x_{k} = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ равенство\ \]

\[\lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f\left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)\]

\[выполняться\ не\ будет.\]

\[Функцию\ нельзя\ доопределить\]

\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\]

\[\ функция\]

\[стала\ непрерывной.\]

\[\textbf{з)}\ f(x) = ctg\ x;\ \ x_{k} = \pi k;\ k \in Z;\ \]

\[\lim_{x \rightarrow \pi k}\text{ctg\ x} = \lim_{x \rightarrow \pi k}\frac{\cos x}{\sin x} = \infty.\]

\[Нет,\ нельзя:каким\ бы\ \]

\[значением\ ни\ была\ бы\]

\[\ доопределена\ \]

\[функция\ f(x)\ в\ точках\ x_{k} = \pi k,\]

\[\ равенство\ \lim_{x \rightarrow 0}{f(x)} = f\left( \text{πk} \right)\]

\[выполняться\ не\ будет.\]

\[Функцию\ нельзя\ доопределить\]

\[\ таким\ образом,\ чтобы\ новая\ \]

\[функция\]

\[стала\ непрерывной.\]

## Параграф 3. Обратные функции