Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 36

\[\boxed{\mathbf{36}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ f(x) = 5x + 2;\ \ \lbrack - 1;2\rbrack;\]

\[Линейная\ функция,\ \]

\[непрерывная\ на\ всей\ области\]

\[\ существования,\ то\ есть\]

\[X = R.\ Тогда\ она\ непрерывна\ \]

\[и\ на\ данном\ отрезке.\]

\[f( - 1) = - 5 + 2 = - 3;\]

\[f(2) = 10 + 2 = 12.\]

\[Функция\ принимает\ все\]

\[\ промежуточные\ значения\ \]

\[между\ ( - 3)\ и\ 12.\]

\[Поскольку\ эти\ значения\ разных\]

\[\ знаков,\ то\ в\ некоторой\ точке\]

\[\ c \in ( - 1;2)\]

\[функция\ обязательно\ сменит\ \]

\[знак,\ то\ есть\ пройдет\]

\[\ промежуточное\]

\[значение,\ равное\ нулю:f(c) = 0.\]

\[У\ функции\ f(x) = 5x + 2\ имеется\ \]

\[нуль\ на\ отрезке\ \lbrack - 1;2\rbrack,\ так\ как\]

\[функция\ на\ данном\ отрезке\ \]

\[непрерывна\ и\ принимает\ \]

\[на\ его\ концах\]

\[значения\ противоположных\]

\[\ знаков.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{б)}\ f(x) = x^{2} + 6x - 1;\ \ \lbrack 0;1\rbrack.\]

\[Квадратичная\ функция,\]

\[\ непрерывная\ на\ всей\ области\]

\[\ существования,\]

\[то\ есть\ X = R.\ Тогда\ она\ \]

\[непрерывна\ и\ на\ данном\]

\[\ отрезке.\]

\[f(0) = 0 + 0 - 1 = - 1;\]

\[f(1) = 1 + 6 - 1 = 6.\]

\[Функция\ принимает\ все\ \]

\[промежуточные\ значения\ \]

\[между\ ( - 1)\ и\ 6.\]

\[Поскольку\ эти\ значения\ разных\]

\[\ знаков,\ то\ в\ некоторой\ \]

\[точке\ c \in (0;1)\]

\[функция\ обязательно\ сменит\]

\[\ знак,\ то\ есть\ пройдет\]

\[\ промежуточное\]

\[значение,\ равное\ нулю:f(c) = 0.\]

\[У\ функции\ f(x) = x^{2} + 6x - 1\ \]

\[имеется\ нуль\ на\ отрезке\]

\[\ \lbrack 0;1\rbrack,\ так\ как\]

\[функция\ на\ данном\ отрезке\]

\[\ непрерывна\ и\ принимает\ \]

\[на\ его\ концах\]

\[значения\ противоположных\ \]

\[знаков.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\textbf{в)}\ y = x^{3} + 6x^{2} - 4x - 1;\ \ \lbrack 0;1\rbrack;\]

\[Кубическая\ функция,\ \]

\[непрерывная\ на\ всей\ области\ \]

\[существования,\]

\[то\ есть\ X = R.\ Тогда\ она\ \]

\[непрерывна\ и\ на\ данном\ \]

\[отрезке.\]

\[f(0) = 0 + 0 - 0 - 1 = - 1;\]

\[f(1) = 1 + 6 - 4 - 1 = 2.\]

\[Функция\ принимает\ все\ \]

\[промежуточные\ значения\ \]

\[между\ ( - 1)\ и\ 2.\]

\[Поскольку\ эти\ значения\ разных\]

\[\ знаков,\ то\ в\ некоторой\ точке\ \]

\[c \in (0;1)\]

\[функция\ обязательно\ сменит\]

\[\ знак,\ то\ есть\ пройдет\ \]

\[промежуточное\]

\[значение,\ равное\ нулю:f(c) = 0.\]

\[У\ функции\ f(x) = x^{3} + 6x^{2} -\]

\[- 4x - 1\ имеется\ нуль\ на\ \]

\[отрезке\ \lbrack 0;1\rbrack,\]

\[так\ как\ функция\ на\ данном\ \]

\[отрезке\ непрерывна\ и\ \]

\[принимает\ на\ его\ \]

\[концах\ значения\ \]

\[противоположных\ знаков.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]