Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 31
Задание 31
\[\boxed{\mathbf{31.}}\]
\[\textbf{а)}\ f(x) = \sin x;\ \ x_{0} \in R;\]
\[\mathrm{\Delta}f = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f\left( x_{0} \right)\]
\[\mathrm{\Delta}f = \sin{(x_{0} +}\mathrm{\Delta}x) - \sin\left( x_{0} \right) =\]
\[= 2\sin\frac{x_{0} + \mathrm{\Delta}x - x_{0}}{2}\cos\frac{x_{0} + \mathrm{\Delta}x + x_{0}}{2} =\]
\[= 2\sin\frac{\mathrm{\Delta}x}{2}\cos\left( x_{0} + \frac{\mathrm{\Delta}x}{2} \right)\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\mathrm{\Delta}f} = 2\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\sin\frac{\mathrm{\Delta}x}{2}} \cdot\]
\[\cdot \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\cos\left( x_{0} + \frac{\mathrm{\Delta}x}{2} \right)} =\]
\[= 2 \cdot 0 \cdot \cos x_{0} = 0.\]
\[Следовательно:\]
\[функция\ f(x) = \sin x\ \]
\[непрерывна\ в\ произвольной\]
\[\ точке\ x_{0} \in R.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ f(x) = \cos x;\ \ x_{0} \in R;\]
\[\mathrm{\Delta}f = f\left( x_{0} + \mathrm{\Delta}x \right) - f\left( x_{0} \right)\]
\[\mathrm{\Delta}f = \cos{(x_{0} +}\mathrm{\Delta}x) - \cos\left( x_{0} \right) =\]
\[= - 2\sin\frac{x_{0} + \mathrm{\Delta}x + x_{0}}{2}\sin\frac{x_{0} + \mathrm{\Delta}x - x_{0}}{2} =\]
\[= - 2\sin\frac{\mathrm{\Delta}x}{2}\sin\left( x_{0} + \frac{\mathrm{\Delta}x}{2} \right)\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\mathrm{\Delta}f} = - 2\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\sin\frac{\mathrm{\Delta}x}{2}} \cdot\]
\[\cdot \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\sin\left( x_{0} + \frac{\mathrm{\Delta}x}{2} \right)} =\]
\[= - 2 \cdot 0 \cdot \sin x_{0} = 0.\]
\[Следовательно:\]
\[функция\ f(x) = \cos x\ \]
\[непрерывна\ в\ произвольной\ \]
\[точке\ x_{0} \in R.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
