Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 2. Предел функции и непрерывность Задание 30
Задание 30
\[\boxed{\mathbf{30.}}\]
\[\textbf{а)}\ y = f(x);y =\]
\[= \varphi(x) - непрерывны\]
\[\ в\ точке\ x_{0}.\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = f\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\varphi(x)} = \varphi\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{F(x)} =\]
\[= \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( f(x) + \varphi(x) \right) =\]
\[= f\left( x_{0} \right) + \varphi\left( x_{0} \right) = F\left( x_{0} \right).\]
\[Следовательно:\]
\[F(x) = f(x) + \varphi(x)\ \]
\[непрерывна\ в\ точке\ x_{0}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ y = f(x);y =\]
\[= \varphi(x) - непрерывны\]
\[\ в\ точке\ x_{0}.\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = f\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\varphi(x)} = \varphi\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{F(x)} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( f(x) - \varphi(x) \right) =\]
\[= f\left( x_{0} \right) - \varphi\left( x_{0} \right) = F\left( x_{0} \right).\]
\[Следовательно:\]
\[F(x) = f(x) - \varphi(x)\ непрерывна\]
\[\ в\ точке\ x_{0}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{в)}\ y = f(x);y =\]
\[= \varphi(x) - непрерывны\ \]
\[в\ точке\ x_{0}.\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = f\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\varphi(x)} = \varphi\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{F(x)} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( f(x) \cdot \varphi(x) \right) =\]
\[= f\left( x_{0} \right) \cdot \varphi\left( x_{0} \right) = F\left( x_{0} \right).\]
\[Следовательно:\]
\[F(x) = f(x) \cdot \varphi(x)\ непрерывна\]
\[\ в\ точке\ x_{0}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{г)}\ y = f(x);y = \varphi(x) -\]
\[непрерывны\ в\ точке\ x_{0}.\]
\[\varphi(x) \neq 0;\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{f(x)} = f\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\varphi(x)} = \varphi\left( x_{0} \right);\]
\[\lim_{x \rightarrow x_{0}}{F(x)} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( \frac{f(x)}{\varphi(x)} \right) =\]
\[= \frac{f\left( x_{0} \right)}{\varphi\left( x_{0} \right)} = F\left( x_{0} \right).\]
\[Следовательно:\]
\[F(x) = \frac{f(x)}{\varphi(x)}\ непрерывна\ \]
\[в\ точке\ x_{0}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
