Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 13. Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств Задание 29

\[\boxed{\mathbf{29.}}\]

\[\textbf{а)}\ \sqrt[4]{x^{3} - 7} + \sqrt[3]{x^{4} - 8} = 3\]

\[\sqrt[3]{x^{4} - 8} = 3 - \sqrt[4]{x^{3} - 7}\]

\[\sqrt[3]{x^{4} - 8}\ возрастает\ при\ x = R.\]

\[3 - \sqrt[4]{x^{3} - 7}\ убывает\ \]

\[при\ x \geq \ \sqrt[3]{7}.\]

\[x^{3} - 7 \geq 0\]

\[x^{3} \geq 7\]

\[x \geq \sqrt[3]{7}.\]

\[Единственный\ корень\ \]

\[находим\ подбором:\]

\[x = 2.\]

\[Ответ:x = 2.\]

\[\textbf{б)}\ \sqrt[5]{x^{3} + 5} + \sqrt[3]{x^{4} - 17} = 6\]

\[\sqrt[5]{x^{3} + 5} = 6 - \sqrt[3]{x^{4} - 17}\]

\[\sqrt[5]{x^{3} + 5}\ возрастает\ при\ x = R.\]

\[6 - \sqrt[3]{x^{4} - 17}\ убывает\ \]

\[при\ x = R.\]

\[Единственный\ корень\ находим\ \]

\[подбором:\]

\[x = 3.\]

\[Ответ:x = 3.\]

\[\textbf{в)}\ \sqrt{x^{3} + 8} + \sqrt{8 - x^{3}} = 4\]

\[\sqrt{x^{3} + 8} + \sqrt{8 - x^{3}} - 4 = 0\]

\[x^{3} + 8 \geq 0\]

\[x^{3} \geq - 8\]

\[x \geq - 2.\]

\[8 - x^{3} \geq 0\]

\[x^{3} \leq 8\]

\[x \leq 2.\]

\[M = \lbrack - 2;2\rbrack.\]

\[f^{'}(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^{3} + 8}} - \frac{1}{2\sqrt{8 - x^{3}}}\]

\[\frac{1}{2\sqrt{x^{3} + 8}} - \frac{1}{2\sqrt{8 - x^{3}}} = 0\]

\[x^{3} + 8 = 8 - x^{3}\]

\[2x^{3} = 0\]

\[x = 0.\]

\[- 2 \leq x \leq 2:\]

\[f( - 2) = 0\ (наим.;\]

\[f( - 1) = \sqrt{7} - 1;\]

\[f(0) = 4\sqrt{2} - 4\ (наиб.);\]

\[f(1) = \sqrt{7} - 1;\]

\[f(2) = 0\ (наим.).\]

\[Ответ:x = \pm 2.\]

\[\textbf{г)}\ \sqrt[4]{x - 1} + \sqrt[4]{3 - x} = 2\]

\[\sqrt[4]{x - 1} + \sqrt[4]{3 - x} - 2 = 0\]

\[x - 1 \geq 0\]

\[x \geq 1.\]

\[3 - x \geq 0\]

\[x \leq 3.\]

\[M = \lbrack 1;3\rbrack.\]

\[f^{'}(x) =\]

\[= \frac{1}{4\sqrt{(x - 1)^{3}}} - \frac{1}{4\sqrt{(3 - x)^{3}}}\]

\[\frac{1}{4\sqrt{(x - 1)^{3}}} - \frac{1}{4\sqrt{(3 - x)^{3}}} = 0\]

\[x - 1 = 3 - x\]

\[2x = 4\]

\[x = 2.\]

\[1 \leq x \leq 3:\]

\[f(1) = \sqrt[4]{2} - 1;\]

\[f(2) = 0\ (наиб.);\]

\[f(3) = \sqrt[4]{2} - 2.\]

\[Ответ:x = 2.\]