Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 13. Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств Задание 21
Задание 21
\[\boxed{\mathbf{21.}}\]
\[\textbf{а)}\left( \frac{2}{3} \right)^{x} + \left( \frac{3}{2} \right)^{x} = 2 - \sin^{2}\frac{2001x}{2002}\]
\[\left( \frac{2}{3} \right)^{x} + \left( \frac{3}{2} \right)^{x} \geq 2\]
\[2 - \sin^{2}\frac{2001x}{2002} \leq 2\]
\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{2}{3} \right)^{x} + \left( \frac{3}{2} \right)^{x} = 2\ \ \ \ \ \\ 2 - \sin^{2}\frac{2001x}{2002} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Корень\ первого\ уравнения\ \]
\[x = 0\ удовлетворяет\ второму\ \]
\[уравнению.\]
\[Ответ:x = 0.\]
\[\textbf{б)}\ \left( \log_{2}3 \right)^{x} + \left( \log_{3}2 \right)^{x} =\]
\[= 2 - \cos^{2}\frac{\pi x + \pi}{2}\]
\[\left( \log_{2}3 \right)^{x} + \left( \frac{1}{\log_{2}3} \right)^{x} \geq 2;\]
\[2 - \cos^{2}\frac{\pi x + \pi}{2} \leq 2.\]
\[\left\{ \begin{matrix} \left( \log_{2}3 \right)^{x} + \left( \frac{1}{\log_{2}3} \right)^{x} = 2 \\ 2 - \cos^{2}\frac{\pi x + \pi}{2} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Корень\ первого\ уравнения\ \]
\[x = 0\ удовлетворяет\ второму\ \]
\[уравнению.\]
\[Ответ:x = 0.\]
\[\textbf{в)}\ \left( \frac{4}{3} \right)^{x - 1} + \left( \frac{3}{4} \right)^{x - 1} =\]
\[= 1 + \cos{2\pi x}\]
\[\left( \frac{4}{3} \right)^{x - 1} + \frac{1}{\left( \frac{4}{3} \right)^{x - 1}} \geq 2;\]
\[1 + \cos{2\pi x} \leq 2.\]
\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{4}{3} \right)^{x - 1} + \left( \frac{3}{4} \right)^{x - 1} = 2 \\ 1 + \cos{2\pi x} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Корень\ первого\ уравнения\ \]
\[x = 1\ удовлетворяет\ второму\ \]
\[уравнению.\]
\[Ответ:x = 1.\]
\[\textbf{г)}\ \left( \frac{4}{5} \right)^{x + 1} + \left( \frac{5}{x} \right)^{x + 1} =\]
\[= 1 - \cos\text{πx}\]
\[\left( \frac{4}{5} \right)^{x + 1} + \frac{1}{\left( \frac{4}{5} \right)^{x + 1}} \geq 2;\]
\[1 - \cos\text{πx} \leq 2.\]
\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{4}{5} \right)^{x + 1} + \left( \frac{5}{x} \right)^{x + 1} = 2 \\ 1 - \cos\text{πx} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Корень\ первого\ уравнения\ \]
\[x = - 1\ удовлетворяет\ второму\ \]
\[уравнению.\]
\[Ответ:x = - 1.\]
