Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 10. Равносильность уравнений на множествах Задание 20

\[\boxed{\mathbf{20}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ 27 \cdot 7^{x + 3} = 147^{x}\ \ \ | \cdot 7^{- x};\ \]

\[\text{\ x} \neq 0\]

\[27 \cdot 7^{x + 3} \cdot 7^{- x} = 3^{x} \cdot 7^{2x} \cdot 7^{- x}\]

\[3^{3} \cdot 7^{3} = 3^{x} \cdot 7^{x}\]

\[(3 \cdot 7)^{3} = (3 \cdot 7)^{x}\]

\[x = 3.\]

\[Ответ:x = 3.\]

\[\textbf{б)}\ 6^{x} \cdot 5^{x - 2} = 9 \cdot 2^{x}\ \ | \cdot 2^{- x};\ \ \]

\[x \neq 0\]

\[6^{x} \cdot 5^{x} \cdot \frac{1}{5^{2}} \cdot 2^{- x} = 9 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x}\]

\[(3 \cdot 2)^{x} \cdot 5^{x} \cdot \frac{1}{25} \cdot 2^{- x} = 9\]

\[3^{x} \cdot 2^{x} \cdot 5^{x} \cdot \frac{1}{25} \cdot 2^{- x} = 9\]

\[\frac{(3 \cdot 5)^{x}}{25} = 9\]

\[15^{x} = 3^{2} \cdot 5^{2}\]

\[15^{x} = 15^{2}\]

\[x = 2.\]

\[Ответ:x = 2.\]

\[\textbf{в)}\ 5^{x + 1} - 4 \cdot 6^{x} = 6^{x - 1} - 5^{x}\]

\[5^{x} \cdot 5 + 5^{x} = 6^{x} \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot 6^{x}\]

\[5^{x} \cdot 6 = 6^{x} \cdot \frac{25}{6}\ \ \ \ | \cdot \frac{1}{6^{x}}\]

\[\frac{5^{x}}{6^{x}} \cdot 6 = \frac{6^{x}}{6^{x}} \cdot \frac{25}{6}\]

\[\left( \frac{5}{6} \right)^{x} \cdot 6 = \frac{25}{6}\]

\[\left( \frac{5}{6} \right)^{x} = \frac{25}{36}\]

\[\left( \frac{5}{6} \right)^{x} = \left( \frac{5}{6} \right)^{2}\]

\[x = 2.\]

\[Ответ:x = 2.\]

\[\textbf{г)}\ 5^{2x - 1} + 2^{2x} = 25^{x} - 4^{x + 1}\]

\[25^{x} \cdot \frac{1}{5} + 4^{x} = 25^{x} - 4 \cdot 4^{x}\]

\[25^{x} - 25^{x} \cdot \frac{1}{5} = 4^{x} + 4 \cdot 4^{x}\]

\[25^{x}\left( 1 - \frac{1}{5} \right) = 4^{x}(1 + 4)\]

\[25^{x} \cdot \frac{4}{5} = 4^{x} \cdot 5\ \ \ \ | \cdot \frac{1}{25^{x}}\]

\[\frac{25^{x}}{25^{x}} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4^{x}}{25^{x}} \cdot 5\]

\[\left( \frac{4}{25} \right)^{x} \cdot 5 = \frac{4}{5}\]

\[\left( \frac{4}{25} \right)^{x} = \frac{4}{25}\]

\[x = 1.\]

\[Ответ:x = 1.\]

\[\textbf{д)}\ \frac{2^{x + 1} + 2 \cdot 3^{x}}{2^{x}} = \frac{3 \cdot 2^{x} + 3^{x + 1}}{3^{x}}\]

\[2^{x} \cdot 3^{x} \neq 0;\]

\[3^{x}\left( 2^{x} \cdot 2 + 2 \cdot 3^{x} \right) =\]

\[= 2^{x}\left( 3 \cdot 2^{x} + 3^{x} \cdot 3 \right)\]

\[2 \cdot 3^{x}\left( 2^{x} + 3^{x} \right) = 3 \cdot 2^{x}\left( 2^{x} + 3^{x} \right)\]

\[\left( 2^{x} + 3^{x} \right)\left( 2 \cdot 3^{x} - 2^{x} \cdot 3 \right) = 0\]

\[2^{x} + 3^{x} > 0;\]

\[2 \cdot 3^{x} - 2^{x} \cdot 3 = 0\ \ \ \ | \cdot \frac{1}{2^{x}} \neq 0\]

\[2 \cdot \frac{3^{x}}{2^{x}} = 3\]

\[\left( \frac{3}{2} \right)^{x} = \frac{3}{2}\]

\[x = 1.\]

\[Ответ:x = 1.\]

\[\textbf{е)}\ \frac{2^{x + 2} + 4 \cdot 6^{x}}{4^{x}} = \frac{2^{x} + 6^{x}}{2^{x}}\]

\[4^{x} \neq 0;\]

\[2^{x} \cdot 4 + 4 \cdot 6^{x} = 2^{x}\left( 2^{x} + 6^{x} \right)\]

\[4 \cdot \left( 2^{x} + 6^{x} \right) - 2^{x}\left( 2^{x} + 6^{x} \right) = 0\]

\[\left( 2^{x} + 6^{x} \right)\left( 4 - 2^{x} \right) = 0\]

\[2^{x} + 6^{x} > 0;\]

\[4 - 2^{x} = 0\]

\[2^{x} = 4\]

\[2^{x} = 2^{2}\]

\[x = 2.\]

\[Ответ:x = 2.\]