Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 58
Задание 58
\[\boxed{\mathbf{58.}}\]
\[\textbf{а)}\ |x + 1| < x^{2} - 2x + 1\]
\[\left\{ \begin{matrix} - x^{2} + 2x - 1 < x + 1 \\ x + 1 < x^{2} - 2x + 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1) - x^{2} + 2x - 1 < x + 1\]
\[x^{2} - x + 2 > 0\]
\[D = 1 - 8 = - 7 < 0\]
\[x \in R.\]
\[2)\ x + 1 < x^{2} - 2x + 1\]
\[x^{2} - 3x > 0\]
\[x(x - 3) > 0\]
\[x < 0;\ \ x > 3.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in ( - \infty;0) \cup (3; + \infty).\]
\[Ответ:\ x \in ( - \infty;0) \cup (3; + \infty).\]
\[\textbf{б)}\ |x + 1| > x^{2} + 4x + 1\]
\[\left\{ \begin{matrix} x + 1 > x^{2} + 4x + 1\ \ \ \ \ \ \\ x + 1 < - \left( x^{2} + 4x + 1 \right) \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x + 1 > x^{2} + 4x + 1\ \ \ \\ x^{2} + 4x + 1 < - x - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1)\ x + 1 > x^{2} + 4x + 1\]
\[x^{2} + 3x < 0\]
\[x(x + 3) < 0\]
\[- 3 < x < 0.\]
\[2)\ x^{2} + 4x + 1 < - x - 1\]
\[x^{2} + 5x + 2 < 0\]
\[D = 25 - 8 = 17\]
\[x_{1} = \frac{- 5 + \sqrt{17}}{2};\]
\[x_{2} = \frac{- 5 - \sqrt{17}}{2}.\]
\[\frac{- 5 - \sqrt{17}}{2} < x < \frac{- 5 + \sqrt{17}}{2}.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in \left( \frac{- 5 - \sqrt{17}}{2};0 \right).\]
\[Ответ:\ x \in \left( \frac{- 5 - \sqrt{17}}{2};0 \right).\]
\[\textbf{в)}\ \left| 3\sqrt{x} - 5 \right| > \sqrt{x} - 1\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3\sqrt{x} - 5 > \sqrt{x} - 1\ \ \ \ \ \ \ \\ 3\sqrt{x} - 5 < - \left( \sqrt{x} - 1 \right) \\ \end{matrix} \right.\ ;\]
\[x \geq 0.\]
\[1)\ 3\sqrt{x} - 5 > \sqrt{x} - 1\]
\[2\sqrt{x} - 4 > 0\]
\[2\sqrt{x} > 4\]
\[\sqrt{x} > 2\]
\[x > 4.\]
\[2)\ 3\sqrt{x} - 5 < - \sqrt{x} + 1\]
\[4\sqrt{x} - 6 < 0\]
\[4\sqrt{x} < 6\]
\[\sqrt{x} < \frac{3}{2}\]
\[x < \frac{9}{4}\]
\[x < 2,25\]
\[0 \leq x < 2,25.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in \lbrack 0;2,25) \cup (4; + \infty).\]
\[Ответ:\ \in \lbrack 0;2,25) \cup (4; + \infty).\]
\[\textbf{г)}\ \left| 2\sqrt{x} - 7 \right| > \sqrt{x} - 2\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x} - 7 > \sqrt{x} - 2\ \ \ \ \ \ \ \\ 2\sqrt{x} - 7 < - \left( \sqrt{x} - 2 \right) \\ \end{matrix} \right.\ ;\]
\[x \geq 0.\]
\[1)\ 2\sqrt{x} - 7 > \sqrt{x} - 2\]
\[\sqrt{x} > 5\]
\[x > 25.\]
\[2)\ 2\sqrt{x} - 7 < - \sqrt{x} + 2\]
\[3\sqrt{x} < 9\]
\[\sqrt{x} < 3\]
\[x < 9\]
\[0 \leq x < 9.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in \lbrack 0;9) \cup (25; + \infty).\]
\[Ответ:\ x \in \lbrack 0;9) \cup (25; + \infty).\]
