Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 59
Задание 59
\[\boxed{\mathbf{59.}}\]
\[\textbf{а)}\ \left| 2\log_{8}x - 3 \right| < \log_{8}x + 1\]
\[\left\{ \begin{matrix} 2\log_{8}x - 3 < \log_{8}x + 1\ \ \ \ \\ 2\log_{8}x - 3 > - \log_{8}x - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2\log_{8}x - 3 < \log_{8}x + 1 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \log_{8}x < 4 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 8^{4} \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 4096 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 < x < 4096.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 2\log_{8}x - 3 > - \log_{8}x - 1 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3\log_{8}x > 2 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \log_{8}x > \frac{2}{3} \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 8^{\frac{2}{3}} \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 4 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[x > 4.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in (4;4096).\]
\[Ответ:\ x \in (4;4096).\]
\[\textbf{б)}\ \left| 2\log_{3}x - 5 \right| < \log_{3}x - 1\]
\[\left\{ \begin{matrix} 2\log_{3}x - 5 < \log_{3}x - 1\ \ \ \ \\ 2\log_{3}x - 5 > - \log_{3}x + 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2\log_{3}x - 5 < \log_{3}x - 1 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \log_{3}x < 4 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 3^{4} \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 81 \\ x > 0\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 < x < 81.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 2\log_{3}x - 5 > - \log_{3}x + 1 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3\log_{3}x > 6 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \log_{3}x > 2 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 3^{2} \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 9 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[x > 9.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in (9;81).\]
\[Ответ:\ x \in (9;81).\]
\[\textbf{в)}\ \left| 2\log_{2}x - 3 \right| > \log_{2}x + 3\]
\[\left\{ \begin{matrix} 2\log_{2}x - 3 > \log_{2}x + 3\ \ \ \\ {2log}_{2}x - 3 < - \log_{2}x - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2\log_{2}x - 3 > \log_{2}x + 3 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \log_{2}x > 6 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 2^{6} \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 64 \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[x > 64.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} {2\log_{2}}x - 3 < - \log_{2}x - 3 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3\log_{2}x < 0 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 2^{0} \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 < x < 1.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in (0;1) \cup (64; + \infty).\]
\[Ответ:\ x \in (0;1) \cup (64; + \infty).\]
\[\textbf{г)}\left| 2\lg x - 5 \right| < \lg x + 2\]
\[\left\{ \begin{matrix} 2\lg x - 5 < \lg x + 2\ \ \ \ \\ 2\lg x - 5 > - \lg x - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2\lg x - 5 < \lg x + 2 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \lg x < 7 \\ x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 10^{7} \\ x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 < x < 10^{7}.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 2\lg x - 5 > - \lg x - 2 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3\lg x > 3 \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \lg x > 1 \\ x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 10^{1} \\ x > 0\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[x > 10.\]
\[Объединим\ полученные\ \]
\[результаты:\]
\[x \in \left( 10;10^{7} \right).\]
\[Ответ:\ x \in \left( 10;10^{7} \right).\]
