Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 56

\[\boxed{\mathbf{56.}}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{\left( \frac{1}{3} \right)^{x} - 3}{3^{x} - 3} < 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} - 3 > 0 \\ 3^{x} - 3 < 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} > 3^{1} \\ 3^{x} < 3^{1}\text{\ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} > \left( \frac{1}{3} \right)^{- 1} \\ 3^{x} < 3^{1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 1 \\ x < 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x < - 1.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} - 3 < 0 \\ 3^{x} - 3 > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} < 3^{1} \\ 3^{x} > 3^{1}\text{\ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} < \left( \frac{1}{3} \right)^{- 1} \\ 3^{x} > 3^{1}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 1 \\ x > 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x > 1.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty).\]

\[Ответ:\ x \in ( - \infty; - 1) \cup (1; + \infty).\]

\[\textbf{б)}\ \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{x} - 4}{2^{x} - 16\ } < 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} - 4 > 0 \\ 2^{x} - 16 < 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} > 2^{2} \\ 2^{x} < 2^{4}\text{\ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} > \left( \frac{1}{2} \right)^{- 2} \\ x < 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 2 \\ x < 4\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x < - 2.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} - 4 < 0 \\ 2^{x} - 16 > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} < 2^{2} \\ 2^{x} > 2^{4}\text{\ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} < \left( \frac{1}{2} \right)^{- 2} \\ x > 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 2 \\ x > 4\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x > 4.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in ( - \infty; - 2) \cup (4; + \infty).\]

\[Ответ:\ x \in ( - \infty; - 2) \cup (4; + \infty).\]

\[\textbf{в)}\ \frac{2^{x} - 8}{\lg x} > 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2^{x} - 8 > 0 \\ \lg x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2^{x} > 2^{3} \\ x > 10^{0} \\ x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > 3 \\ x > 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x > 3.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 2^{x} - 8 < 0 \\ \lg x < 0\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2^{x} < 2^{3}\text{\ \ } \\ x < 10^{0}\ \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < 3\ \ \ \ \\ x < 1\ \ \ \ \\ x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[0 < x < 1.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in (0;1) \cup (3; + \infty).\]

\[Ответ:\ x \in (0;1) \cup (3; + \infty).\]

\[\textbf{г)}\ \frac{2^{x} - \frac{1}{2}}{\lg{(3 - x)}} < 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2^{x} - \frac{1}{2} > 0\ \ \ \ \\ \lg{(3 - x) < 0} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2^{x} > 2^{- 1}\text{\ \ \ \ \ } \\ 3 - x < 10^{0} \\ 3 - x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 1 \\ x > 2\ \ \ \\ x < 3\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[2 < x < 3.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 2^{x} - \frac{1}{2} < 0\ \ \ \ \\ \lg{(3 - x) > 0} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 2^{x} < 2^{- 1}\text{\ \ \ \ \ } \\ 3 - x > 10^{0} \\ 3 - x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 1 \\ x < 2\ \ \ \\ x < 3\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x < - 1.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in ( - \infty; - 1) \cup (2;3).\]

\[Ответ:\ x \in ( - \infty; - 1) \cup (2;3).\]