Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 55

\[\boxed{\mathbf{55.}}\]

\[\textbf{а)}\ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} > 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 > 0 \\ x - 1 > 0\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 2 \\ x \geq 0\ \ \\ x > 1\ \ \\ x \neq 1\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > 4 \\ x \geq 0 \\ x > 1 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x > 4.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ x - 1 < 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} < 2 \\ x \geq 0\ \ \\ x < 1\ \ \\ x \neq 1\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < 4 \\ x \geq 0 \\ x < 1 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[0 \leq x < 1.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in \lbrack 0;1) \cup (4; + \infty).\]

\[Ответ:\ \ x \in \lbrack 0;1) \cup (4; + \infty).\]

\[\textbf{б)}\ \frac{\sqrt{x} - 3}{2 - x} < 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 3 > 0 \\ 2 - x < 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 3 \\ x \geq 0\ \ \ \\ x > 2\ \ \ \\ x \neq 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > 9 \\ x \geq 0 \\ x > 2 \\ x \neq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x > 9.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 3 < 0 \\ 2 - x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} < 3 \\ x \geq 0\ \ \ \\ x < 2\ \ \ \\ x \neq 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < 9 \\ x \geq 0 \\ x < 2 \\ x \neq 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[0 \leq x < 2.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in \lbrack 0;2) \cup (9; + \infty).\]

\[Ответ:\ x \in \lbrack 0;2) \cup (9; + \infty).\]

\[\textbf{в)}\frac{\sqrt{- x} - 2}{- 2 - x} > 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} - 2 > 0 \\ - 2 - x > 0\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} > 2 \\ - x \geq 0\ \ \ \\ - x > 2\ \ \\ x \neq - 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - x > 4 \\ x \leq 0\ \ \ \\ x < - 2 \\ x \neq - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 4 \\ x \leq 0\ \ \ \\ x < - 2 \\ x \neq - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x < - 4.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} - 2 < 0 \\ - 2 - x < 0\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} < 2 \\ - x \geq 0\ \ \ \\ - x < 2\ \ \ \\ x = - 2\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - x < 4 \\ x \leq 0\ \ \ \ \\ x > - 2 \\ x \neq - 2\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 4 \\ x \leq 0\ \ \ \\ x > - 2 \\ x \neq - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- 2 < x \leq 0.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in ( - \infty; - 4) \cup ( - 2;0\rbrack.\]

\[Ответ:\ x \in ( - \infty; - 4) \cup ( - 2;0\rbrack.\]

\[\textbf{г)}\ \frac{\sqrt{- x} - 3}{x + 2} < 0\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} - 3 < 0 \\ x + 2 > 0\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} < 3 \\ - x \geq 0\ \ \ \\ x > - 2\ \ \ \\ x \neq - 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - x < 9 \\ x \leq 0\ \ \ \\ x > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x > - 9 \\ x \leq 0\ \ \ \ \\ x > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- 2 < x \leq 0.\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} - 3 > 0 \\ x + 2 < 0\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{- x} > 3 \\ - x \geq 0\ \ \ \\ x < - 2\ \ \ \\ x \neq - 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - x > 9 \\ x \leq 0\ \ \ \\ x < - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x < - 9 \\ x \leq 0\ \ \ \\ x < - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[x < - 9.\]

\[Объединим\ решения:\]

\[x \in ( - \infty; - 9) \cup ( - 2;0\rbrack.\]

\[Ответ:\ x \in ( - \infty; - 9) \cup ( - 2;0\rbrack.\]