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МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 54
Задание 54
\[\boxed{\mathbf{54.}}\]
\[\textbf{а)}\ \left( 3 - \sqrt{10 - x} \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right) < 0\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 3 - \sqrt{10 - x} > 0 \\ \sqrt{x} - 2 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{10 - x} < 3 \\ 10 - x \geq 0\ \ \ \\ \sqrt{x} < 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 10 - x < 9 \\ x \leq 10\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x < 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 1\ \ \\ x \leq 10 \\ x < 4\ \ \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[1 < x < 4.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 3 - \sqrt{10 - x} < 0 \\ \sqrt{x} - 2 > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{10 - x} > 3 \\ 10 - x \geq 0\ \ \ \\ \sqrt{x} > 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 10 - x > 9\ \ \\ x \leq 10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x > 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 1\ \ \ \\ x \leq 10 \\ x > 4\ \ \\ x > 0\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \ \]
\[Нет\ решений.\]
\[Ответ:1 < x < 4.\]
\[\textbf{б)}\ \left( 2 - \sqrt{9 - x} \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) > 0\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} 2 - \sqrt{9 - x} > 0 \\ \sqrt{x} - 1 > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{9 - x} < 2 \\ 9 - x \geq 0\ \ \\ \sqrt{x} > 1\ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 9 - x < 4 \\ x \leq 9\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x > 1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 5 \\ x \leq 9 \\ x > 1 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[5 < x \leq 9.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} 2 - \sqrt{9 - x} < 0 \\ \sqrt{x} - 1 < 0\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{9 - x} > 2 \\ 9 - x \geq 0\ \ \ \\ \sqrt{x} < 1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 9 - x > 4 \\ x \leq 9\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x < 1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 5 \\ x \leq 9 \\ x < 1 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 \leq x < 1.\]
\[Объединим\ решения:\]
\[x \in \lbrack 0;1) \cup (5;9\rbrack.\]
\[Ответ:\ x \in \lbrack 0;1) \cup (5;9\rbrack.\]
\[\textbf{в)}\ \left( \sqrt{3 - x} - 1 \right)\lg x < 0\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{3 - x} - 1 > 0 \\ \lg{x < 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{3 - x} > 1 \\ 3 - x \geq 0\ \ \\ x < 10^{0}\text{\ \ \ \ \ \ } \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3 - x > 1 \\ x \leq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x < 1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 2 \\ x \leq 0 \\ x < 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 < x < 1.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{3 - x} - 1 < 0 \\ \lg x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{3 - x} < 1 \\ 3 - x \geq 0\ \ \ \\ x > 10^{0}\text{\ \ \ \ \ \ } \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} 3 - x < 1 \\ x \leq 3\ \ \ \ \ \ \ \\ x > 1\ \ \ \ \ \ \ \\ x > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 3 \\ x > 1 \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[2 < x \leq 3.\]
\[Объединим\ решения:\ \]
\[x \in (0;1) \cup (2;3\rbrack.\]
\[Ответ:\ x \in (0;1) \cup (2;3\rbrack.\]
\[\textbf{г)}\ \left( \sqrt{x} - 1 \right)\lg{(3 - x)} < 0\]
\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 1 > 0\ \ \ \ \\ \lg(3 - x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3 - x < 10^{0} \\ 3 - x > 0\ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x > 1 \\ x \geq 0 \\ x > 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[2 < x < 3.\]
\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - 1 < 0 \\ \lg{(3 - x)\text{\ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} < 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x \geq 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3 - x > 10^{0} \\ 3 - x > 0\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[\left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ x \geq 0 \\ x < 2 \\ x < 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[0 \leq x < 1.\]
\[Объединим\ решения:\ \]
\[x \in \lbrack 0;1) \cup (2;3).\]
\[Ответ:\ x \in \lbrack 0;1) \cup (2;3).\]
