Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 51

\[\boxed{\mathbf{51.}}\]

\[Утверждение\ 6.\]

\[Пусть\ x_{0} - решение\ \]

\[неравенства\ f(x)g(x) > 0\ \]

\[или\ \frac{f(x)}{g(x)} > 0,\ то\ есть\]

\[существуют\ числа\ f\left( x_{0} \right)\ и\ \]

\[g\left( x_{0} \right)\ такие,\ что\ f\left( x_{0} \right)g\left( x_{0} \right) > 0\ \]

\[или\ \frac{f\left( x_{0} \right)}{g\left( x_{0} \right)} > 0.\ Это\ значит,\ \]

\[что\ каждое\ из\ этих\ чисел\ \]

\[имеет\ одинаковые\ знаки,\]

\[то\ есть\ \ \left\{ \begin{matrix} f\left( x_{0} \right) > 0 \\ g\left( x_{0} \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ или\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} f\left( x_{0} \right) < 0 \\ g\left( x_{0} \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ .\ Последнее\ \]

\[утверждение\ означает,\ \]

\[что\ любое\ решение\ \]

\[неравенства\ есть\ решение\ \]

\[совокупности\ систем.\]

\[Докажем\ обратное.\]

\[Пусть\ число\ x_{1} - решение\ \]

\[совокупности\ систем,\ то\ есть:\]

\[\left\{ \begin{matrix} f\left( x_{1} \right) > 0 \\ g\left( x_{1} \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ или\ \ \left\{ \begin{matrix} f\left( x_{1} \right) < 0 \\ g\left( x_{1} \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \]

\[тогда\ f\left( x_{1} \right)g\left( x_{1} \right) > 0\ или\ \]

\[\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} > 0.\]

\[Последнее\ утверждение\ \]

\[означает,\ что\ каждое\ решение\ \]

\[из\ множества\ решений\ двух\ \]

\[систем\ является\ решением\ \]

\[неравенства.Докажем,\ \]

\[что\ если\ неравенство\ не\ имеет\ \]

\[решений,\ то\ и\ система\ тоже\]

\[не\ имеет\ решения.\ \]

\[Пусть\ x_{3} - решение\ \]

\[совокупности\ систем.\ \]

\[Тогда\ x_{3} - решение\]

\[неравенства\ \]

\[(по\ доказанному\ выше),\ \]

\[что\ противоречит\ условию:\]

\[неравенство\ решения\ \]

\[не\ имеет.\ \]

\[Аналогично\ доказывается,\ что\ \]

\[если\ система\ не\ имеет\ \]

\[решений,\ то\ и\ неравенство\ \]

\[тоже\ не\ имеет\ решений.\]

\[Утверждение\ 7.\]

\[Пусть\ x_{0} - решение\ \]

\[неравенства\ f(x)g(x) < 0\ или\ \]

\[\frac{f(x)}{g(x)} < 0,\ то\ есть\ существуют\ \]

\[числа\ f\left( x_{0} \right)\ и\ g\left( x_{0} \right)\ такие,\ \]

\[что\ f\left( x_{0} \right)g\left( x_{0} \right) < 0\ или\ \]

\[\frac{f\left( x_{0} \right)}{g\left( x_{0} \right)} < 0.\ Это\ значит,\ \]

\[что\ числа\ имеют\ разные\ знаки,\]

\[то\ есть\ \ \left\{ \begin{matrix} f\left( x_{0} \right) < 0 \\ g\left( x_{0} \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ или\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} f\left( x_{0} \right) > 0 \\ g\left( x_{0} \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ .\ Последнее\ \]

\[утверждение\ означает,\ что\ \]

\[любое\ решение\ неравенства\ \]

\[есть\ решение\ совокупности\]

\[систем.\]

\[Докажем\ обратное.\]

\[Пусть\ число\ x_{1} - решение\ \]

\[совокупности\ систем,\ то\ есть:\]

\[\left\{ \begin{matrix} f\left( x_{1} \right) > 0 \\ g\left( x_{1} \right) < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ или\ \ \left\{ \begin{matrix} f\left( x_{1} \right) < 0 \\ g\left( x_{1} \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ ,\ \]

\[тогда\ f\left( x_{1} \right)g\left( x_{1} \right) < 0\ или\ \]

\[\frac{f\left( x_{1} \right)}{g\left( x_{1} \right)} < 0.\]

\[Последнее\ утверждение\ \]

\[означает,\ что\ каждое\ решение\ \]

\[из\ множества\ решений\ двух\ \]

\[систем\ является\ решением\ \]

\[неравенства.Докажем,\ что\ \]

\[если\ неравенство\ не\ имеет\ \]

\[решений,\ то\ и\ система\ тоже\]

\[не\ имеет\ решения.\ \]

\[Пусть\ x_{3} - решение\ \]

\[совокупности\ систем.\ \]

\[Тогда\ x_{3} - решение\]

\[неравенства\ \]

\[(по\ доказанному\ выше),\ что\ \]

\[противоречит\ условию:\]

\[неравенство\ решения\ \]

\[не\ имеет.\ \]

\[Аналогично\ доказывается,\ \]

\[что\ если\ система\ не\ имеет\ \]

\[решений,\ то\ и\ неравенство\ \]

\[тоже\ не\ имеет\ решений.\]