Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 9. Равносильность уравнений и неравенств системам Задание 24
Задание 24
\[\boxed{\mathbf{24.}}\]
\[\textbf{а)}\log_{a}{f(x)} + \log_{a}{g(x)} =\]
\[= \log_{a}\left( f(x) \cdot g(x) \right)\]
\[\left\{ \begin{matrix} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \ a > 0;\ \ a \neq 1.\]
\[Значит,\ x_{0} - это\ решение\ \]
\[совокупности\ систем.\]
\[Следовательно,\ любое\ решение\]
\[\ уравнения\ является\ решением\]
\[системы.\]
\[Значит,\ x_{1} - это\ решение\ \]
\[уравнения.\]
\[Следовательно,\ любое\ решение\]
\[\ системы\ является\]
\[решением\ уравнения.\]
\[Покажем,\ что\ если\ уравнение\ \]
\[не\ имеет\ решений,\ то\ и\]
\[\ система\]
\[не\ имеет\ решений.\]
\[Аналогично:если\ система\ не\]
\[\ имеет\ решения,\]
\[то\ и\ уравнение\ не\ имеет\]
\[\ решения.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\log_{g(x)}{f(x)} = \log_{g(x)}{\varphi(x)}\]
\[\left\{ \begin{matrix} f(x) = \varphi(x) \\ f(x) > 0\ \ \ \ \ \ \ \\ \varphi(x) > 0\ \ \ \ \ \ \\ g(x) > 0\ \ \ \ \ \ \\ g(x) \neq 1\ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[Следовательно,\ любое\ решение\ \]
\[уравнения\ является\ решением\]
\[системы.\]
\[Значит,\ x_{1} - это\ решение\ \]
\[уравнения.\]
\[Следовательно,\ любое\ решение\]
\[\ системы\ является\]
\[решением\ уравнения.\]
\[Покажем,\ что\ если\ уравнение\ \]
\[не\ имеет\ решений,\ то\ и\]
\[\ система\]
\[не\ имеет\ решений.\]
\[Аналогично:если\ система\ не\]
\[\ имеет\ решения,\]
\[то\ и\ уравнение\ не\ имеет\ \]
\[решения.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
