Решебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 1. Функции и их графики Задание 56

\[\boxed{\mathbf{56.}}\]

\[\textbf{а)}\ y = \frac{2 - x^{2}}{x^{2} + 1}\]

\[2 - x^{2} = 0\]

\[x^{2} = 0\]

\[x = \pm \sqrt{2}.\]

\[D(f) = ( - \infty; + \infty);\]

\[E(f) = ( - 1;2\rbrack;\]

\[Ограничена\ сверху\ и\ снизу.\]

\[y_{наим} - нет;\]

\[y_{наиб\ } = 2.\]

\[Функция\ четная.\]

\[Не\ является\ периодической.\]

\[Убывает\ на\ промежутке\ \]

\[\lbrack 0; + \infty);\]

\[возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ ( - \infty;0\rbrack.\]

\[Нули\ функции:\ x = \pm \sqrt{2}.\]

\[f(x) > 0\ при\ x \in \left( - \sqrt{2};\sqrt{2} \right);\]

\[f(x) < 0\ при\ \]

\[x \in \left( - \infty; - \sqrt{2} \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right).\]

\[\textbf{б)}\ y = \frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 2}\]

\[x^{2} - 5 = 0\]

\[x^{2} = 5\]

\[x = \pm \sqrt{5}.\]

\[D(f) = ( - \infty; + \infty);\]

\[E(f) = \lbrack - 2,5;1);\]

\[Ограничена\ сверху\ и\ снизу.\]

\[y_{наим} = - 2,5;\]

\[y_{наиб\ } - нет.\]

\[Функция\ четная.\]

\[Не\ является\ периодической.\]

\[Возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ \lbrack 0; + \infty);\]

\[Убывает\ на\ промежутке\ \]

\[( - \infty;0\rbrack.\]

\[Нули\ функции:\ x = \pm \sqrt{5}.\]

\[f(x) < 0\ при\ x \in \left( - \sqrt{5};\sqrt{5} \right);\]

\[f(x) > 0\ при\]

\[\ x \in \left( - \infty; - \sqrt{5} \right) \cup \left( \sqrt{5}; + \infty \right).\]

\[\textbf{в)}\ y = \frac{1 - 2x^{2}}{3 + x^{2}}\]

\[1 - 2x^{2} = 0\]

\[2x^{2} = 1\]

\[x^{2} = \frac{1}{2}\]

\[x = \pm \sqrt{0,5}.\]

\[D(f) = ( - \infty; + \infty);\]

\[E(f) = \left( - 2;\frac{1}{3} \right\rbrack;\]

\[Ограничена\ сверху\ и\ снизу.\]

\[y_{наим} - нет;\]

\[y_{наиб\ } = \frac{1}{3}.\]

\[Функция\ четная.\]

\[Не\ является\ периодической.\]

\[Убывает\ на\ промежутке\]

\[\ \lbrack 0; + \infty);\]

\[возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ ( - \infty;0\rbrack.\]

\[Нули\ функции:\ x = \pm \sqrt{0,5}.\]

\[f(x) > 0\ при\ \]

\[x \in \left( - \sqrt{0,5};\sqrt{0,5} \right);\]

\[f(x) < 0\ при\]

\[\ x \in \left( - \infty; - \sqrt{0,5} \right) \cup \left( \sqrt{0,5}; + \infty \right).\]

\[\textbf{г)}\ y = \frac{2x^{2} - 5}{4 + x^{2}}\]

\[2x^{2} = 5\]

\[x^{2} = \frac{5}{2}\]

\[x = \pm \sqrt{2,5}.\]

\[D(f) = ( - \infty; + \infty);\]

\[E(f) = \left\lbrack - \frac{5}{4};2 \right);\]

\[Ограничена\ сверху\ и\ снизу.\]

\[y_{наим} = - \frac{5}{4};\]

\[y_{наиб\ } - нет.\]

\[Функция\ четная.\]

\[Не\ является\ периодической.\]

\[Возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ \lbrack 0; + \infty);\]

\[Убывает\ на\ промежутке\ ( - \infty;0\rbrack.\]

\[Нули\ функции:\ x = \pm \sqrt{2,5}.\]

\[f(x) < 0\ при\ x \in \left( - \sqrt{2,5};\sqrt{2,5} \right);\]

\[f(x) > 0\ при\ \]

\[x \in \left( - \infty; - \sqrt{2,5} \right) \cup \left( \sqrt{2,5}; + \infty \right).\]

\[\textbf{д)}\ y = \sqrt{\cos x}\]

\[D(f) = \left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack;\]

\[E(f) = \lbrack 0;1\rbrack;\]

\[Ограничена\ сверху\ и\ снизу.\]

\[y_{наим}\ при\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πn};\]

\[y_{наиб\ }\ при\ x = 2\text{πn}.\]

\[Функция\ четная.\]

\[Периодическая;\ \ T = 2\pi.\]

\[Возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ \left\lbrack 2\pi n;\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack;\]

\[Убывает\ на\ промежутке\ \]

\[\left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2\pi n;2\pi n \right\rbrack.\]

\[Нули\ функции:\ x = \frac{\pi}{2} + \pi n.\]

\[f(x) > 0\ при\ \]

\[x \in \left( - \frac{\pi}{2} + 2\text{πn};\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right).\]

\[\textbf{е)}\ y = \sqrt{\text{tg\ x}}\]

\[D(f) = \left\lbrack \pi n;\frac{\pi}{2} + \pi n \right);\]

\[E(f) = \lbrack 0; + \infty);\]

\[Ограничена\ снизу.\]

\[y_{наим}\ при\ x = \text{πn};\]

\[y_{наиб\ } - нет.\]

\[Функция\ ни\ четная,\ ни\]

\[\ нечетная.\]

\[Периодическая;\ \ T = \pi.\]

\[Возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ \left\lbrack \pi n;\frac{\pi}{2} + \pi n \right\rbrack.\]

\[Нули\ функции:\ x = \text{πn}.\]

\[f(x) > 0\ при\ x \in \left( \text{πn};\frac{\pi}{2} + \pi n \right).\]

\[\textbf{ж)}\ y = \sqrt{2^{x}}\]

\[2^{x} \geq 0\]

\[X = R.\]

\[y \geq 0.\]

\[D(f) = R;\]

\[E(f) = (0; + \infty);\]

\[Ограничена\ снизу.\]

\[y_{наим} - нет;\]

\[y_{наиб\ } - нет.\]

\[Функция\ ни\ четная,\ ни\ \]

\[нечетная.\]

\[Не\ является\ периодической.\]

\[Возрастает\ на\ промежутке\ \]

\[( - \infty; + \infty).\]

\[Нули\ функции:\ нет\]

\[f(x) > 0\ при\ x \in ( - \infty; + \infty).\]

\[\textbf{з)}\ y = \sqrt{\log_{2}x}\]

\[D(f) = \lbrack 1; + \infty);\]

\[E(f) = \lbrack 0; + \infty);\]

\[Ограничена\ снизу.\]

\[y_{наим} = 0;\]

\[y_{наиб\ } - нет.\]

\[Функция\ ни\ четная,\ ни\]

\[\ нечетная.\]

\[Не\ является\ периодической.\]

\[Возрастает\ на\ промежутке\]

\[\ \lbrack 1; + \infty).\]

\[Нули\ функции:\ x = 1.\]

\[f(x) > 0\ при\ x \in (1; + \infty).\]