Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре 11 класс Никольский Параграф 1. Функции и их графики Задание 27
Задание 27
\[\boxed{\mathbf{27.}}\]
\[\textbf{а)}\ f_{1}(x);\ \ f_{2}(x) - нечетные:\]
\[f_{1}( - x) = - f_{1}(x);\]
\[f_{2}( - x) = - f_{2}(x).\]
\[Проверим\ сумму:\]
\[f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x) + f_{2}( - x) =\]
\[= - f_{1}(x) - f_{2}(x) =\]
\[= - \left( f_{1}(x) + f_{2}(x) \right) = - f(x)\]
\[сумма\ нечетная.\]
\[Проверим\ разность:\]
\[f(x) = f_{1}(x) - f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x) - f_{2}( - x) =\]
\[= - f_{1}(x) + f_{2}(x) =\]
\[= - \left( f_{1}(x) - f_{2}(x) \right) = - f(x)\]
\[разность\ нечетная.\]
\[Проверим\ произведение:\]
\[f(x) = f_{1}(x) \cdot f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x) \cdot f_{2}( - x) =\]
\[= - f_{1}(x) \cdot \left( - f_{2}(x) \right) =\]
\[= - \left( f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \right) = - f(x)\]
\[произведение\ нечетное.\]
\[Проверим\ частное:\]
\[f(x) = f_{1}(x)\ :f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x)\ :f_{2}( - x) =\]
\[= - f_{1}(x)\ :\left( - f_{2}(x) \right) =\]
\[= - \left( f_{1}(x)\ :f_{2}(x) \right) = - f(x)\]
\[частное\ нечетное.\]
\[Вывод:\ \]
\[сумма,\ разность,\ произведение\ \]
\[и\ частное\ двух\ нечетных\ функций\]
\[являются\ нечетными\ функциями\]
\[на\ общей\ части\ областей\]
\[определения\ этих\ функций.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ f_{1}(x) - четная;\]
\[f_{2}(x) - нечетная:\]
\[f_{1}( - x) = f_{1}(x);\]
\[f_{2}( - x) = - f_{2}(x).\]
\[Проверим\ сумму:\]
\[f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x) + f_{2}( - x) =\]
\[= f_{1}(x) - f_{2}(x)\]
\[ни\ четная,\ ни\ нечетная.\]
\[Проверим\ разность:\]
\[f(x) = f_{1}(x) - f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x) - f_{2}( - x) =\]
\[= f_{1}(x) + f_{2}(x)\]
\[ни\ четная,\ ни\ нечетная.\]
\[Проверим\ произведение:\]
\[f(x) = f_{1}(x) \cdot f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x) \cdot f_{2}( - x) =\]
\[= f_{1}(x) \cdot \left( - f_{2}(x) \right) =\]
\[= - \left( f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \right)\]
\[функция\ нечетная.\]
\[Проверим\ частное:\]
\[f(x) = f_{1}(x)\ :f_{2}(x)\]
\[f( - x) = f_{1}( - x)\ :f_{2}( - x) =\]
\[= f_{1}(x)\ :\left( - f_{2}(x) \right) =\]
\[= - \left( f_{1}(x)\ :f_{2}(x) \right)\]
\[функция\ нечетная.\]
