Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 919

\[1)\ x^{\lg{2x} - 3\lg x + 1} > 1000\]

\[\lg x^{\lg{2x} - 3\lg x + 1} > \lg 1000\]

\[\lg x \bullet \left( \lg{2x} - 3\lg x + 1 \right) > \lg 10^{3}\]

\[\lg x \bullet \left( \lg 2 + \lg x - 3\lg x + 1 \right) > 3\]

\[y = \lg x:\]

\[y\left( \lg 2 + y - 3y + 1 \right) > 3\]

\[y \bullet \lg 2 - 2y^{2} + y > 3\]

\[2y^{2} - \left( \lg 2 + 1 \right)y + 3 < 0\]

\[D = \left( \lg 2 + 1 \right)^{2} - 4 \bullet 2 \bullet 3 =\]

\[= \lg^{2}2 + 2\lg 2 + 1 - 24 =\]

\[= \lg^{2}2 + 2\lg 2 - 23 < 0\]

\[x \in \varnothing.\]

\[Ответ:\ \ нет\ решений.\]

\[2)\ 3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^{2} + 5} - 2\]

\[3^{2} \bullet 3^{\lg x} < 3^{5} \bullet 3^{\lg x^{2}} - 2\]

\[9 \bullet 3^{\lg x} < 243 \bullet 3^{2\lg x} - 2\]

\[y = 3^{\lg x}:\]

\[9y < 243y^{2} - 2\]

\[243y^{2} - 9y - 2 > 0\]

\[D = 81 + 1944 = 2025\]

\[y_{1} = \frac{9 - 45}{2 \bullet 243} = - \frac{2}{27};\]

\[y_{2} = \frac{9 + 45}{2 \bullet 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9};\]

\[\left( y + \frac{2}{27} \right)\left( y - \frac{1}{9} \right) > 0\]

\[y < - \frac{2}{27};\ \ \ y > \frac{1}{9}.\]

\[Подставим:\]

\[3^{\lg x} > \frac{1}{9}\]

\[3^{\lg x} > 3^{- 2}\]

\[\lg x > - 2\]

\[x > 10^{- 2}\]

\[x > 0,01.\]

\[Ответ:\ \ x \in (0,01;\ + \infty).\]