Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 277

\[1)\ y = 2x^{2} - 20x + 1;\]

\[y^{'} = 2 \bullet 2x - 20 + 0 = 4x - 20.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[4x - 20 \geq 0\]

\[4x \geq 20\]

\[x \geq 5.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 5 - точка\ минимума.\]

\[2)\ y = 3x^{2} + 36x - 1;\]

\[y^{'} = 3 \bullet 2x + 36 - 0 = 6x + 36.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[6x + 36 \geq 0\]

\[6x \geq - 36\]

\[x \geq - 6.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = - 6 - точка\ минимума.\]

\[3)\ y = \frac{x}{5} + \frac{5}{x};\]

\[y^{'} = \frac{1}{5} + 5 \bullet \left( - \frac{1}{x^{2}} \right) = \frac{1}{5} - \frac{5}{x^{2}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[\frac{1}{5} - \frac{5}{x^{2}} \geq 0\ \ \ \text{\ \ }\ \ | \bullet 5x^{2}\]

\[x^{2} - 25 \geq 0\]

\[(x + 5)(x - 5) \geq 0\]

\[x \leq - 5;\text{\ \ \ x} \geq 5.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 5 - точка\ минимума;\]

\[x = - 5 - точка\ максимума.\]

\[4)\ y = \frac{4}{x} + \frac{x}{16};\]

\[y^{'} = 4 \bullet \left( - \frac{1}{x^{2}} \right) + \frac{1}{16} = \frac{1}{16} - \frac{4}{x^{2}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[\frac{1}{16} - \frac{4}{x^{2}} \geq 0\ \ \ \text{\ \ }\ \ | \bullet 16x^{2}\]

\[x^{2} - 64 \geq 0\]

\[(x + 8)(x - 8) \geq 0\]

\[x \leq - 8;\ \text{\ \ \ x} \geq 8.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 8 - точка\ минимума;\]

\[x = - 8 - точка\ максимума.\]

\[5)\ y = x^{3} - 4x^{2};\]

\[y^{'} = 3x^{2} - 4 \bullet 2x = 3x^{2} - 8x.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[3x^{2} - 8x \geq 0\]

\[x(3x - 8) \geq 0\]

\[x \leq 0;\ \ \ x \geq 2\frac{2}{3}.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 2\frac{2}{3} - точка\ минимума;\]

\[x = 0 - точка\ максимума.\]

\[6)\ y = x^{4} - 8x^{2} + 5;\]

\[y^{'} = 4x^{3} - 8 \bullet 2x + 0 =\]

\[= 4x^{3} - 16x.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[4x^{3} - 16x \geq 0\]

\[4x\left( x^{2} - 4 \right) \geq 0\]

\[(x + 2)x(x - 2) \geq 0\]

\[- 2 \leq x \leq 0;\text{\ \ \ x} \geq 2.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = \pm 2 - точки\ минимума;\]

\[x = 0 - точка\ максимума.\]

\[7)\ y = x + \sin x;\]

\[y^{'} = 1 + \cos x.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[1 + \cos x \geq 0\]

\[\cos x \geq - 1\]

\[x \in R.\]

\[Ответ:\ \ экстремумов\ нет.\]

\[8)\ y = 6\sin x - \cos{2x};\]

\[y^{'} = 6\cos x + 2\sin{2x}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[6\cos x + 2\sin{2x} \geq 0\]

\[6\cos x + 4\sin x \bullet \cos x \geq 0\]

\[2\cos x \bullet \left( 3 + 2\sin x \right) \geq 0.\]

\[\textbf{а)}\ 3 + 2\sin x \geq 0\]

\[\sin x \geq - 1,5;\]

\[\cos x \geq 0;\]

\[- \frac{\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi n.\]

\[\textbf{б)}\ 3 + 2\sin x \leq 0\]

\[\sin x \leq - 1,5;\text{\ \ \ }\]

\[\cos x \leq 0;\]

\[x \in \varnothing.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = - \frac{\pi}{2} + 2\pi n - точки\ минимума;\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n - точки\ максимума.\]