Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 278

\[1)\ y = x + \sqrt{3 - x};\]

\[y^{'} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \bullet ( - 1) =\]

\[= \frac{2\sqrt{3 - x} - 1}{2\sqrt{3 - x}}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[2\sqrt{3 - x} - 1 \geq 0\]

\[2\sqrt{3 - x} \geq 1\]

\[4(3 - x) \geq 1\]

\[12 - 4x \geq 1\]

\[4x \leq 11\]

\[x \leq 2,75.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 2,75 - точка\ максимума.\]

\[2)\ y = (x - 1)^{\frac{6}{7}};\]

\[y^{'} = \frac{6}{7}(x - 1)^{- \frac{1}{7}} = \frac{6}{7\sqrt[7]{x - 1}}.\]

\[Ответ:\ \ экстремумов\ нет.\]

\[3)\ y = x - \sin{2x};\]

\[y^{'} = 1 - 2\cos{2x}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[1 - 2\cos{2x} \geq 0.\]

\[2\cos{2x} \leq 1\]

\[\cos{2x} \leq \frac{1}{2}.\]

\[\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\]

\[\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + \pi n.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = \frac{\pi}{6} + \pi n - точки\ минимума;\]

\[x = - \frac{\pi}{6} + \pi n - точки\ максимума.\]

\[4)\ y = \cos{3x} - 4x;\]

\[y^{'} = - 3\sin{3x} - 4.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[- 3\sin{3x} - 4 \geq 0\]

\[- 3\sin{3x} \geq 4\]

\[\sin{3x} \geq - 1\frac{1}{3}\]

\[x \in R.\]

\[Ответ:\ \ экстремумов\ нет.\]

\[5)\ y = (x - 1)^{4};\]

\[y^{'} = 4(x - 1)^{3}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[x - 1 \geq 0\]

\[x \geq 1.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 1 - точка\ минимума.\]

\[6)\ y = 1 - (x + 1)^{6};\]

\[y^{'} = 0 - 6(x + 1)^{5} = - 6(x + 1)^{5}.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[- 6(x + 1)^{5} \geq 0\]

\[x + 1 \leq 0\]

\[x \leq - 1.\]

\[Ответ:\ \]

\[x = - 1 - точка\ максимума.\]

\[7)\ y = (x + 2)^{2}(x - 3)^{3};\]

\[y^{'} =\]

\[= {(x + 2)^{2}}^{'} \bullet (x - 3)^{3} + (x + 2)^{2} \bullet {(x - 3)^{3}}^{'} =\]

\[= 2(x + 2) \bullet (x - 3)^{3} + (x + 2)^{2} \bullet 3(x - 3)^{2} =\]

\[= (x + 2)(x - 3)^{2} \bullet (2x - 6 + 3x + 6) =\]

\[= (x + 2)(x - 3)^{2} \bullet 5x.\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[(x + 2) \bullet 5x \geq 0\]

\[x \leq - 2;\text{\ \ \ \ x} \geq 0.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 0 - точка\ минимума;\]

\[x = - 2 - точка\ максимума.\]

\[8)\ y = (x - 5)e^{x};\]

\[y^{'} = (x - 5)^{'} \bullet e^{x} + (x - 5) \bullet {e^{x}}^{'} =\]

\[= e^{x} + (x - 5)e^{x} = e^{x}(x - 4).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[x - 4 \geq 0\]

\[x \geq 4.\]

\[Ответ:\ \ \]

\[x = 4 - точка\ минимума.\]