Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 274

\[x > 0.\]

\[1)\ln(1 + x) < x\]

\[\ln(1 + x) - x < 0.\]

\[y^{'} = \frac{1}{1 + x} - 1 = \frac{1 - (1 + x)}{x + 1} =\]

\[= - \frac{x}{x + 1}.\]

\[- \frac{x}{x + 1} \leq 0\]

\[\frac{x}{x + 1} \geq 0\]

\[x < - 1;\ \ \ x \geq 0.\]

\[\ln(1 + 0) - 0 = 0.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ln(1 + x) > \frac{x}{x + 1}\]

\[\ln(1 + x) - \frac{x}{x + 1} > 0.\]

\[y^{'} =\]

\[= \frac{1}{1 + x} - \frac{x^{'} \bullet (x + 1) - x \bullet (x + 1)^{'}}{(x + 1)^{2}} =\]

\[= \frac{1}{x + 1} - \frac{x + 1 - x}{(x + 1)^{2}} =\]

\[= \frac{x + 1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} =\]

\[= \frac{x}{(x + 1)^{2}}.\]

\[x \geq 0.\]

\[\ln(1 + 0) - \frac{0}{0 + 1} = 0.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]