Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1091

\[r - радиус\ основания;\]

\[h - высота\ цилиндра.\]

\[1)\ Периметр\ осевого\ сечения:\]

\[2(2r + h) = p\]

\[2r + h = \frac{p}{2}\]

\[h = \frac{p}{2} - 2r.\]

\[2)\ V(r) = \pi r^{2}h = \pi r^{2}\left( \frac{p}{2} - 2r \right) =\]

\[= \frac{1}{2}\text{pπ}r^{2} - 2\pi r^{3};\]

\[V^{'}(r) = \frac{1}{2}p\pi \bullet 2r - 2\pi \bullet 3r^{2} =\]

\[= p\pi r - 6\pi r^{2}.\]

\[3)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[p\pi r - 6\pi r^{2} \geq 0\]

\[pr - 6r^{2} \geq 0\]

\[r(6r - p) \leq 0\]

\[0 \leq r \leq \frac{p}{6}.\]

\[4)\ Точка\ максимума:\]

\[V\left( \frac{p}{6} \right) = \pi\left( \frac{p}{6} \right)^{2} \bullet \left( \frac{p}{2} - \frac{p}{3} \right) =\]

\[= \frac{\pi p^{2}}{36}\left( \frac{3p}{6} - \frac{2p}{6} \right) =\]

\[= \frac{\pi p^{2}}{36} \bullet \frac{p}{6} = \frac{\pi p^{3}}{216}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{\pi p^{3}}{216}.\]