Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1086

\[r\ - радиус\ основания;\]

\[\text{h\ } - высота\ цилиндра.\]

\[1)\ V = \pi r^{2} \bullet h\]

\[h = \frac{V}{\pi r^{2}}.\]

\[2)\ Площадь\ поверхности:\]

\[S(r) = 2\pi r^{2} + 2\pi rh =\]

\[= 2\pi r^{2} + \frac{2\pi r \bullet V}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \frac{2V}{r};\]

\[S^{'}(r) = 2\pi \bullet 2r + 2V \bullet \left( - \frac{1}{r^{2}} \right) =\]

\[= \frac{4\pi r^{3} - 2V}{r^{2}}.\]

\[3)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[4\pi r^{3} - 2V \geq 0\]

\[4\pi r^{3} \geq 2V\]

\[r^{3} \geq \frac{V}{2\pi}\]

\[r \geq \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.\]

\[5)\ Точка\ минимума:\]

\[S_{\min} = S\left( \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \right) =\]

\[= 2\pi \bullet \sqrt[3]{\frac{V^{2}}{4\pi^{2}}} + 2V \bullet \sqrt[3]{\frac{2\pi}{V}} =\]

\[= \sqrt[3]{2\pi V^{2}} + 2\sqrt[3]{2\pi V^{2}} = 3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}.\]

\[Ответ:\ \ 3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}.\]