Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1087

\[r\ - радиус\ основания;\]

\[\text{h\ } - высота\ цилиндра.\]

\[1)\ Диагональ\ цилиндра:\]

\[(2r)^{2} + h^{2} = d^{2}\]

\[4r^{2} + h^{2} = (2R)^{2}\]

\[h^{2} = 4R^{2} - 4r^{2}\]

\[h = 2\sqrt{R^{2} - r^{2}}.\]

\[2)\ Площадь\ боковой\ \]

\[поверхности:\]

\[S(r) = 2\pi r \bullet h =\]

\[= 2\pi r \bullet 2\sqrt{R^{2} - r^{2}} =\]

\[= 4\pi\sqrt{R^{2}r^{2} - r^{4}};\]

\[S^{'}(r) = 4\pi \bullet \frac{2R^{2}r - 4r^{3}}{2\sqrt{R^{2}r^{2} - r^{4}}} =\]

\[= \frac{4\pi r\left( R^{2} - 2r^{2} \right)}{\sqrt{R^{2}r^{2} - r^{4}}}.\]

\[3)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[R^{2} - 2r^{2} \geq 0\]

\[2r^{2} \leq R^{2}\]

\[r^{2} \leq \frac{R^{2}}{2}\]

\[- \frac{R}{\sqrt{2}} \leq r \leq \frac{R}{\sqrt{2}}.\]

\[4)\ Точка\ максимума:\]

\[r = \frac{R}{\sqrt{2}}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{R}{\sqrt{2}}.\]