Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1085

\[r\ дм - радиус\ основания;\]

\[\text{h\ }дм - высота\ конуса.\]

\[1)\ Образующая:\]

\[l^{2} = r^{2} + h^{2} = 20^{2}\]

\[r^{2} + h^{2} = 400\]

\[r^{2} = 400 - h^{2}.\]

\[2)\ V(h) = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3} \bullet \pi r^{2} \bullet h =\]

\[= \frac{1}{3} \bullet \pi h\left( 400 - h^{2} \right) =\]

\[= \frac{400\pi h - \pi h^{3}}{3};\]

\[V^{'}(h) = \frac{400\pi(h)^{'} - \pi\left( h^{3} \right)^{'}}{3} =\]

\[= \frac{400\pi - 3\pi h^{2}}{3}.\]

\[3)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[400\pi - 3\pi h^{2} \geq 0\]

\[400 - 3h^{2} \geq 0\]

\[3h^{2} \leq 400\]

\[h^{2} \leq \frac{400}{3}\]

\[- \frac{20}{\sqrt{3}} \leq h \leq \frac{20}{\sqrt{3}}.\]

\[4)\ Точка\ максимума:\]

\[h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{20\sqrt{3}}{3}\ дм.\]