Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Задание 1075

\[r\ см - радиус\ основания;\]

\[\text{h\ }см - высота\ цилиндра.\]

\[1)\ Площадь\ поверхности:\]

\[S = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 54\pi\]

\[r^{2} + rh = 27\]

\[rh = 27 - r^{2}\]

\[h = \frac{27 - r^{2}}{r}.\]

\[2)\ V(r) = \pi r^{2} \bullet h =\]

\[= \pi r^{2} \bullet \frac{27 - r^{2}}{r} =\]

\[= \pi r \bullet \left( 27 - r^{2} \right) = 27\pi r - \pi r^{3}.\]

\[V^{'}(r) = 27\pi - \pi \bullet 3r^{2} =\]

\[= 3\pi\left( 9 - r^{2} \right).\]

\[3)\ Промежуток\ возрастания:\]

\[9 - r^{2} \geq 0\]

\[(r + 3)(r - 3) \leq 0\]

\[- 3 \leq r \leq 3.\]

\[4)\ Точка\ максимума:\]

\[V(3) = 27\pi \bullet 3 - \pi \bullet 3^{3} =\]

\[= 81\pi - 27\pi = 54\pi.\]

\[Ответ:\ \ 54\pi\ см^{3}.\]