Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Вопросы к главе VII

\[\mathbf{1.}\ \]

\[Два\ комплексных\ числа\ a + bi\ и\]

\[\ c + di\ называются\ равными\]

\[равными\ тогда\ и\ только\ тогда,\ \]

\[когда\ a = c\ и\ b = d,\ то\ есть\]

\[когда\ равны\ их\ действительные\ \]

\[и\ мнимые\ части.\]

\[\mathbf{2}\text{.\ }\]

\[(a + bi) + (c + di) =\]

\[= (a + c) + (b + d)i;\]

\[(a + bi) - (c + di) =\]

\[= (a - c) + (b - d)i;\]

\[(a + bi)(c + di) =\]

\[= (ac - bd) + (ad + bc)i;\]

\[\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^{2} + d^{2}} =\]

\[= \frac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} + \frac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}} \bullet i.\]

\[\mathbf{3.\ }\]

\[1)\ Переместительное:\]

\[z_{1} + z_{2} = z_{2} + z_{1};\]

\[z_{1}z_{2} = z_{2}z_{1}.\]

\[2)\ Сочетательное:\]

\[\left( z_{1} + z_{2} \right) + z_{3} = z_{1} + \left( z_{2} + z_{3} \right);\]

\[\left( z_{1}z_{2} \right)z_{3} = z_{1}\left( z_{2}z_{3} \right).\]

\[3)\ Распределительное:\]

\[z_{1}\left( z_{2} + z_{3} \right) = z_{1}z_{2} + z_{1}z_{3}.\]

\[\mathbf{4.\ }\]

\[Операция\ умножения\ \]

\[комплексных\ чисел\ \]

\[выполнима\ всегда,\ а\ операция\ \]

\[деления\ числа\ z_{1}\ на\ z_{2}\ при\ \]

\[любых\ значениях\ чисел,\ \]

\[кроме\ z_{2} = 0.\]

\[\mathbf{5.}\ \]

\[Чисто\ мнимым\ называют\ \]

\[комплексное\ число,\]

\[действительная\ часть\ которого\ \]

\[равна\ нулю:\]

\[0 + bi = bi.\]

\[\mathbf{6.\ }\]

\[Сопряженным\ с\ числом\ \]

\[z = a + bi\ называется\]

\[комплексное\ число\ a - bi,\ \]

\[которое\ обозначается\ \overline{z}:\]

\[\overline{z} = \overline{a + bi} = a - bi.\]

\[\mathbf{7.}\]

\[\ Комплексное\ число\ ( - 1)\text{z\ }\]

\[является\ противоположным\]

\[комплексному\ числу\ \text{z\ }и\ \]

\[обозначается - z.\]

\[Следовательно:\]

\[z = a + bi \rightarrow \ - z = - a - bi.\]

\[\mathbf{8.}\ \]

\[Пусть\ на\ плоскости\ задана\ \]

\[прямоугольная\ система\]

\[координат,\ комплексное\ число\ \]

\[z = a + bi\ изображается\ точкой\]

\[плоскости\ с\ координатами\ \]

\[(a;\ b),\ и\ эта\ точка\ обозначается\ \]

\[той\ же\ буквой\ z.\]

\[\mathbf{9.\ }\]

\[Взаимное\ расположение\ на\ \]

\[комплексной\ плоскости\ чисел:\]

\[\textbf{а)}\ z\ и\ \overline{z} - симметричны\ \]

\[относительно\ действительной\ \]

\[оси;\]

\[\textbf{б)}\ z\ и\ ( - z) - симметричны\ \]

\[относительно\ начала\ \]

\[координат.\]

\[\mathbf{10.\ }\]

\[Модуль\ некоторого\ \]

\[комплексного\ числа\ \text{z\ }\]

\[является\ расстоянием\ от\ \]

\[точки\ 0\ до\ точки\ z:\]

\[|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.\]

\[\mathbf{11.\ }\]

\[\mathbf{Модуль\ разности\ двух\ }\]

\[\mathbf{комплексных\ чисел\ отражает}\]

\[\mathbf{расстояние\ между\ числами\ на\ }\]

\[\mathbf{комплексной\ плоскости}\mathbf{:}\]

\[\left| z_{1} - z_{2} \right| =\]

\[= \left| \left( a_{1} - a_{2} \right) + \left( b_{1} - b_{2} \right)i \right| =\]

\[= \sqrt{\left( a_{1} - a_{2} \right)^{2} + \left( b_{1} - b_{2} \right)^{2}}.\]

\[\mathbf{12.\ }\]

\[Аргумент\ комплексного\ числа\]

\[\ z \neq 0 - это\ угол\ \varphi\ между\ \]

\[положительным\ направлением\ \]

\[действительной\ оси\ и\ вектором\ \]

\[Oz,\ этот\ угол\ считается\ \]

\[положительным,если\ отсчет\]

\[ведется\ против\ часовой\ стрелки,\ \]

\[и\ отрицательным\ при\ отсчете\]

\[по\ часовой\ стрелке.\]

\[\mathbf{13.}\]

\[Любое\ комплексное\ число\ \ \]

\[z = a + bi,\ где\ z \neq 0,\]

\[представляется\ в\ виде\]

\[z = r\left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right),\ где\]

\[r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} - модуль\ \]

\[комплексного\ числа\ z,\]

\[\varphi - его\ аргумент,\ этот\ вид\ \]

\[записи\ числа\ называют\ \]

\[тригонометрической\ формой\ \]

\[комплексного\ числа\ z.\]

\[\mathbf{14.}\ \]

\[Пусть\ дано\ комплексное\ число\ \]

\[z = a + bi:\]

\[r = \sqrt{a^{2} + b^{2}};\]

\[\varphi = arctg\frac{b}{a};\]

\[z = r\left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right).\]

\[\mathbf{15.}\ \]

\[Число\ \text{z\ }называется\ корнем\ \ \]

\[степени\ n\ из\ числа\ \text{w\ }\]

\[\left( обозначается\ \sqrt[n]{w} \right),\ если\ z^{n} = w.\]

\[\mathbf{16}\text{.\ }\]

\[z_{1}z_{2} =\]

\[= r_{1}r_{2}\left( \cos\left( \varphi_{1} + \varphi_{2} \right) + i\sin\left( \varphi_{1} + \varphi_{2} \right) \right);\]

\[\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}\left( \cos\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right) + i\sin\left( \varphi_{1} - \varphi_{2} \right) \right);\]

\[z^{n} = r^{n}\left( \cos\text{nφ} + i\sin\text{nφ} \right);\]

\[z_{k} = \sqrt[n]{r}\left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right);\]

\[k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ n - 1.\]

\[\mathbf{17.\ }\]

\[Алгебраическое\ уравнение\text{\ n}\text{-}й\ \]

\[степени\ вида\ \]

\[z^{n} + c_{1}z^{n - 1} + c_{2}z^{n - 2} + \ldots + c_{n - 1}z + c_{n} = 0;\]

\[где\ c_{1},\ c_{2},\ \ldots,\ c_{n - 1},\ c_{n} -\]

\[комплексные\ числа,\ имеет\ хотя\ \]

\[бы\ один\ комплексный\ корень.\]

\[Любое\ алгебраическое\ \]

\[уравнение\ n\text{-}й\ степени\ (n \geq 1)\ \ \]

\[с\ комплексными\ коэффициентами\ \]

\[имеет\ \text{n\ }комплексных\ корней,\ \]

\[при\ этом\ каждый\ корень\ \]

\[считается\ столько\ раз,\ какова\ \]

\[его\ кратность.\]