Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Колягин Вопросы к главе III

\[\mathbf{1.\ }\]

\[Функция\ называется\ \]

\[возрастающей\ на\ некотором\]

\[промежутке,\ если\ большему\ \]

\[значению\ аргумента\ \]

\[соответствует\ большее\ \]

\[значение\ функции,\ то\ есть\]

\[для\ любых\ точек\ x_{1}\ и\ x_{2}\ из\ \]

\[этого\ промежутка,\ таких,что\ \]

\[x_{2} > x_{1},\ выполняется\ \]

\[неравенство\ f\left( x_{2} \right) > f\left( x_{1} \right).\]

\[Если\ для\ любых\ точек\ x_{1}\ и\ x_{2}\ \]

\[из\ данного\ промежутка,таких,\]

\[что\ x_{2} > x_{1},\ выполняется\ \]

\[неравенство\ f\left( x_{2} \right) < f\left( x_{1} \right),\ то\]

\[функция\ f(x)\ называется\ \]

\[убывающей\ на\ промежутке.\]

\[\mathbf{2.\ }\]

\[Пусть\ функция\ f(x)\ непрерывна\ \]

\[на\ отрезке\ \lbrack a;\ b\rbrack,\ а\ также\]

\[дифференцируема\ на\ интервале\ \]

\[(a;\ b),\ тогда\ если\ f^{'}(x) > 0\ для\ \]

\[всех\ x \in (a;\ b),\ то\ функция\ \]

\[f(x)\ возрастает\ на\ отрезке\ \]

\[\lbrack a;\ b\rbrack,\ а\ если\ f^{'}(x) < 0,\ то\ она\ \]

\[убывает\ на\ этом\ отрезке.\]

\[\mathbf{3.\ }\]

\[Точка\ x_{0}\ называется\ точкой\ \]

\[максимума\ функции\ f(x),если\]

\[для\ всех\ x \neq x_{0}\ из\ некоторой\ \]

\[окрестности\ точки\ x_{0}\]

\[выполняется\ неравенство\ \]

\[f(x) < f\left( x_{0} \right).\]

\[Точка\ x_{0}\ называется\ точкой\ \]

\[минимума\ функции\ f(x),\]

\[если\ для\ всех\ x \neq x_{0}\ из\ \]

\[некоторой\ окрестности\ точки\ \]

\[x_{0}\ выполняется\ неравенство\ \]

\[f(x) > f\left( x_{0} \right).\]

\[\mathbf{4.\ }\]

\[Пусть\ функция\ f(x)\ определена\ \]

\[в\ некоторой\ окрестности\]

\[точки\ x_{0}\ и\ дифференцируема\ \]

\[в\ этой\ точке,\ если\ x_{0} - точка\]

\[экстремума\ функции\ f(x),\ \]

\[то\ f^{'}\left( x_{0} \right) = 0.\]

\[\mathbf{5.}\ \]

\[Условие\ f^{'}(x) = 0\ является\ \]

\[необходимым\ условием\]

\[экстремума\ дифференцируемой\ \]

\[функции\ f(x),\ это\ значит,\ \]

\[что\ если\ x = x_{0} - точка\ \]

\[экстремума\ дифференцируемой\ \]

\[функции,\ то\ f^{'}\left( x_{0} \right) = 0.\]

\[\mathbf{6.\ }\]

\[\mathbf{Точки,\ в\ которых\ производная\ }\]

\[\mathbf{функции\ обращается\ в\ }\mathbf{нуль,}\]

\[\mathbf{называются\ стационарными\ }\]

\[\mathbf{точками\ этой\ функции}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{7.\ }\]

\[Внутренняя\ точка\ области\ \]

\[определения\ непрерывной\]

\[функции\ f(x),\ в\ которой\ эта\ \]

\[функция\ не\ имеет\ производной\ \]

\[или\ f^{'}(x) = 0,\ называется\ \]

\[критической\ точкой\ \]

\[функции\text{\ f}(x).\]

\[\mathbf{8.\ }\]

\[Пусть\ функция\ f(x)\ \]

\[дифференцируема\ в\ некоторой\ \]

\[окрестности\ точки\ x_{0},\ кроме,\ \]

\[быть\ может,\ самой\ точки\ x_{0},\]

\[и\ непрерывна\ в\ точке\ x_{0}:\]

\[1)\ если\ f^{'}(x)\ меняет\ знак\ с\ « - »\ \]

\[на\ « + »\ при\ переходе\ через\ \]

\[точку\ x_{0},\ то\ есть\ в\ некотором\ \]

\[интервале\ \left( a;\ x_{0} \right)\ производная\]

\[отрицательна\ и\ в\ некотором\ \]

\[интервале\ \left( x_{0};\ b \right)\ положительна,\]

\[то\ x_{0} - точка\ минимума\ \]

\[функции\ f(x);\]

\[2)\ если\ f^{'}(x)\ меняет\ знак\ с\ « + »\ \]

\[на\ « - »\ при\ переходе\ через\]

\[точку\ x_{0},\ то\ x_{0} - точка\ \]

\[максимума\ функции\ f(x).\]

\[\mathbf{9.\ }\]

\[Для\ нахождения\ наибольшего\ \]

\[и\ наименьшего\ значения\]

\[функции,\ непрерывной\ на\ \]

\[заданном\ отрезке,\ требуется:\]

\[1)\ найти\ критические\ точки\ \]

\[функции;\]

\[2)\ найти\ значения\ функции\ в\ \]

\[этих\ точках;\]

\[3)\ найти\ значения\ функции\ на\ \]

\[границах\ отрезка;\]

\[4)\ из\ этих\ значений\ выбрать\ \]

\[наибольшее\ и\ наименьшее.\]

\[\mathbf{10.\ }\]

\[Пусть\ функция\ f(x)\ непрерывна\ \]

\[на\ отрезке\ \lbrack a;\ b\rbrack\ и\]

\[дифференцируема\ на\ интервале\ \]

\[(a;\ b),\ тогда\ существует\]

\[точка\ c \in (a;\ b),\ такая,\ что\ \]

\[f(b) - f(a) = f^{'}(c)(b - a).\]

\[\mathbf{11.}\]

\[Пусть\ x_{1}\ и\ x_{2} - произвольные\ \]

\[точки\ отрезка\ \lbrack a;\ b\rbrack,такие\]

\[что\ x_{1} < x_{2},\ применяя\ к\ отрезку\ \]

\[\left\lbrack x_{1};\ x_{2} \right\rbrack\ формулу\ Лагранжа,\ \]

\[получаем:\]

\[f\left( x_{2} \right) - f\left( x_{1} \right) = f^{'}(c)\left( x_{2} - x_{1} \right);\text{\ \ }\]

\[c \in \left( x_{1};\ x_{2} \right).\]

\[Так\ как\ x_{2} - x_{1} > 0,\ то\ из\ этого\ \]

\[равенства\ следует,\ что\ при\]

\[f^{'}(x) > 0\ выполняется\ \]

\[неравенство\ f\left( x_{2} \right) > f\left( x_{1} \right),\ \]

\[а\ при\ f^{'}(x) < 0 - неравенство\ \]

\[f\left( x_{2} \right) < f\left( x_{1} \right).\]

\[Это\ означает,\ что\ если\ f^{'}(x) > 0,\ \]

\[то\ функция\ f(x)\ возрастает\ на\ \]

\[отрезке\ \lbrack a;\ b\rbrack,\ а\ если\ f^{'}(x) < 0,\ \ \]

\[то\ она\ убывает\ на\ этом\ отрезке.\]

\[\mathbf{12.\ }\]

\[Пусть\ f^{'}(x)\ меняет\ знак\ с\ « - »\ \]

\[на\ « + »\ при\ переходе\ через\]

\[точку\ x_{0},\ тогда\ f^{'}(x) < 0\ при\ \]

\[a < x < x_{0}\ и\ f^{'}(x) > 0\ при\ \]

\[x_{0} < x < b.\]

\[Функция\ f(x)\ убывает\ на\ \]

\[промежутке\ \left( a;\ x_{0} \right\rbrack\ и\ возрастает\ \]

\[на\ промежутке\ \left\lbrack x_{0};\ b \right),\ тогда\ \]

\[f\left( x_{0} \right) - наименьшее\ значение\ \]

\[функции\ на\ интервале\ (a;\ b),\ \]

\[и\ поэтому\ x_{0} - точка\ минимума\]

\[функции\ f(x).\]

\[Аналогично\ рассматривается\ \]

\[случай\ максимума.\]

\[\mathbf{13.}\]

\[\mathbf{\ }Если\ функция\ f^{'}(x)\ \]

\[дифференцируема\ на\ интервале\ \]

\[(a;\ b),\ то\ ее\ производную\ \]

\[называют\ производной\ второго\ \]

\[порядка\ функции\ f(x)\ и\ \]

\[обозначают\ f^{''}(x):\]

\[f^{''}(x) = \left( f^{'}(x) \right)^{'}.\]

\[\mathbf{14.\ }\]

\[Функция\ y = f(x),\ \]

\[дифференцируемая\ на\ \]

\[интервале\ (a;\ b),\ называется\ \]

\[выпуклой\ вверх\ на\ этом\ \ \]

\[интервале,\ если\ функция\ f^{'}(x)\ \]

\[убывает\ на\ интервале\ (a;\ b),\ и\ \ \]

\[выпуклой\ вниз,если\ функция\ \]

\[f^{'}(x)\ возрастает\ на\ \]

\[интервале\ (a;\ b).\]

\[\mathbf{15.\ }\]

\[Пусть\ функция\ f(x)\ \]

\[дифференцируема\ на\ интервале\ \]

\[(a;\ b),\ x_{0} \in (a;\ b)\ и\ пусть\ эта\ \]

\[функция\ выпукла\ вверх\ на\]

\[одном\ из\ интервалов\ \left( a;\ x_{0} \right),\ \]

\[\left( x_{0};\ b \right)\ и\ выпукла\ вниз\ на\]

\[другом\ интервале,\ тогда\ \]

\[точка\ x_{0}\ называется\ точкой\]

\[перегиба\ этой\ функции,\ а\ \]

\[точка\ \left( x_{0};\ f\left( x_{0} \right) \right) - точкой\]

\[перегиба\ графика\ функции\ \]

\[y = f(x).\]

\[\mathbf{16.\ }\]

\[Пусть\ функция\ f(x)\ имеет\ \]

\[производную\ второго\ порядка\ \]

\[на\ неком\ заданном\ \]

\[интервале\ (a;\ b):\]

\[1)\ требуется\ найти\ функцию\ \]

\[y = f^{''}(x);\]

\[2)\ если\ f^{''}(x) < 0\ на\ (a;\ b),\ то\ \]

\[функция\ f(x)\ выпукла\ вверх;\]

\[3)\ если\ f^{''}(x) > 0\ на\ (a;\ b),\ то\ \]

\[функция\ f(x)\ выпукла\ вниз;\]

\[4)\ если\ f^{''}\left( x_{0} \right) = 0\ при\ a < x_{0} < b\ \]

\[и\ знаки\ функции\ f^{''}(x)\ на\ \]

\[интервалах\ \left( a;\ x_{0} \right)\ и\ \left( x_{0};\ b \right)\ \]

\[отличаются,то\ точка\ x_{0}\ \]

\[является\ точкой\ перегиба\ \]

\[функции\ f(x).\]

\[\mathbf{17}\text{.\ }\]

\[На\ интервале\ (a;\ b)\ найдется\ \ \]

\[такая\ точка\ c,что\ касательная\ \]

\[к\ графику\ функции\ y = f(x)\ в\ \]

\[точке\ \text{C\ }\left( c;\ f(c) \right)\ параллельна\ \]

\[секущей\ l,\ которая\ проходит\]

\[через\ точки\ \]

\[A\left( a;\ f(a) \right)\ и\ B\left( b;\ f(b) \right).\]

\[\mathbf{18.}\]

\[\mathbf{\ }Для\ того\ чтобы\ прямая\ \]

\[y = kx + b\ была\ асимптотой\]

\[графика\ функции\ y = f(x)\ при\ \]

\[x \rightarrow + \infty,\ необходимо\ и\]

\[достаточно,\ чтобы\ \]

\[существовали\ конечные\ \]

\[пределы:\]

\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{f(x)}{x} = k;\text{\ \ \ }\]

\[\lim_{x \rightarrow + \infty}\left( f(x) - kx \right) = b.\]