Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 717

\[\boxed{\mathbf{717}\mathbf{.}}\]

\[1)\ y = 1 + \cos x\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ - 1 \leq \cos x \leq 1;\]

\[0 \leq 1 + \cos x \leq 2;\]

\[E(y) = \lbrack 0;\ 2\rbrack.\]

\[\textbf{в)}\ y(x + T) = y(x);\]

\[1 + \cos(x + T) = 1 + \cos x;\]

\[T = 2\pi.\]

\[\textbf{г)}\ Функция\ четная:\]

\[y( - x) = 1 + \cos( - x) =\]

\[= 1 + \cos x = y(x).\]

\[\textbf{д)}\ 1 + \cos x = 0\]

\[\cos x = - 1\]

\[x = \pi - \arccos 1 + 2\pi n\]

\[x = \pi + 2\pi n.\]

\[\textbf{е)}\ Максимальные\ значения:\]

\[1 + \cos x = 2;\]

\[\cos x = 1;\]

\[x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n.\]

\[\textbf{ж)}\ Минимальные\ значения:\]

\[x = \pi + 2\pi n.\]

\[\textbf{з)}\ Возрастает:\]

\[\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n;\]

\[убывает:\]

\[2\pi n < x < \pi + 2\pi n;\]

\[положительна:\]

\[x \neq 2\pi n;\]

\[2)\ y = \cos{2x}\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ - 1 \leq \cos{2x} \leq 1;\]

\[E(y) = \lbrack - 1;\ 1\rbrack.\]

\[\textbf{в)}\ y(x + T) = y(x);\]

\[\cos\left( 2 \bullet (x + T) \right) = \cos{2x}\]

\[\cos(2x + 2T) = \cos{2x}\]

\[2T = 2\pi\]

\[T = \pi.\]

\[\textbf{г)}\ Функция\ четная:\]

\[y( - x) = \cos( - 2x) =\]

\[= \cos{2x} = y(x).\]

\[\textbf{д)}\ \cos{2x} = 0\]

\[2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n\]

\[x = \frac{1}{2} \bullet \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\text{πn}}{2}.\]

\[\textbf{е)}\ Максимальные\ значения:\]

\[\cos{2x} = 1;\]

\[2x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;\]

\[x = \frac{1}{2} \bullet 2\pi n = \pi n.\]

\[\textbf{ж)}\ Минимальные\ значения:\]

\[\cos{2x} = - 1\]

\[2x = \pi - \arccos 1 + 2\pi n\]

\[2x = \pi + 2\pi n\]

\[x = \frac{1}{2} \bullet (\pi + 2\pi n)\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi n.\]

\[\textbf{з)}\ Возрастает:\]

\[\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi + \pi n;\]

\[убывает:\]

\[\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n;\]

\[положительна:\]

\[- \frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n;\]

\[отрицательна:\]

\[\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n.\]

\[3)\ y = 3\cos x\]

\[\textbf{а)}\ D(x) = ( - \infty;\ + \infty);\]

\[\textbf{б)}\ - 1 \leq \cos x \leq 1;\]

\[- 3 \leq 3\cos x \leq 3;\]

\[E(y) = \lbrack - 3;\ 3\rbrack.\]

\[\textbf{в)}\ y(x + T) = y(x);\]

\[3\cos{(x + T)} = 3\cos x;\]

\[T = 2\pi.\]

\[\textbf{г)}\ Функция\ четная:\]

\[y( - x) = 3\cos( - x) =\]

\[= 3\cos x = y(x).\]

\[\textbf{д)}\ 3\cos x = 0;\]

\[\cos x = 0;\]

\[x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n.\]

\[\textbf{е)}\ Максимальные\ значения:\]

\[3\cos x = 3;\]

\[\cos x = 1;\]

\[x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n.\]

\[\textbf{ж)}\ Минимальные\ значения:\]

\[3\cos x = - 3;\]

\[\cos x = - 1;\]

\[x = \pi - \arccos 1 + 2\pi n =\]

\[= \pi + 2\pi n.\]

\[\textbf{з)}\ Возрастает:\]

\[\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n;\]

\[убывает:\]

\[2\pi n < x < \pi + 2\pi n;\]

\[положительна:\]

\[- \frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\]

\[отрицательна:\]

\[\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.\]