Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 490

\[\boxed{\mathbf{490}\mathbf{.}}\]

\[\sin\alpha = \frac{4}{5}\text{\ \ }и\ \ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi;\]

\[\cos\beta = \frac{8}{17}\text{\ \ }и\ \ \frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi.\]

\[Точка,\ соответствующая\ \]

\[повороту\ на\ угол\ \alpha,\ \]

\[лежит\ во\ \text{II\ }четверти:\]

\[\cos a = - \sqrt{1 - \sin^{2}a} =\]

\[= - \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^{2}} = - \sqrt{\frac{25}{25} - \frac{16}{25}} =\]

\[= - \sqrt{\frac{9}{25}} = - \frac{3}{5}\]

\[Точка,\ соответствующая\ \]

\[повороту\ на\ угол\ \beta,\ \]

\[лежит\ в\ \text{IV\ }четверти:\]

\[\sin\beta = - \sqrt{1 - \cos^{2}\beta} =\]

\[= - \sqrt{1 - \left( \frac{8}{17} \right)^{2}} =\]

\[= - \sqrt{\frac{289}{289} - \frac{64}{289}} = - \sqrt{\frac{225}{289}} =\]

\[= - \frac{15}{17}\]

\[Получаем:\]

\[\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} =\]

\[= \frac{\sin\alpha \bullet \cos\beta + \cos a \bullet \sin\beta}{\cos\alpha \bullet \cos\beta - \sin\alpha \bullet \sin\beta}\]

\[\text{tg}(\alpha + \beta) =\]

\[= \frac{\frac{4}{5} \bullet \frac{8}{17} + \left( - \frac{3}{5} \right) \bullet \left( - \frac{15}{17} \right)}{\left( - \frac{3}{5} \right) \bullet \frac{8}{17} - \frac{4}{5} \bullet \left( - \frac{15}{17} \right)} =\]

\[= \frac{\frac{32}{85} + \frac{45}{85}}{- \frac{24}{85} + \frac{60}{85}} = \frac{32\text{+}45}{60 - 24} = \frac{77}{36} =\]

\[= 2\frac{5}{36}\]