Решебник по алгебре и начала математического анализа 11 класс Алимов Задание 1261

\[\boxed{\mathbf{1261}\mathbf{.}}\]

\[\text{a\ }и\ b - натуральные\ числа.\]

\[1)\ Дробь\ \sqrt{\frac{a}{b}} - рациональна,\ \]

\[если\ рационально\ число\ \sqrt{\text{ab}}:\]

\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a \bullet b}{b \bullet b}} = \sqrt{\frac{\text{ab}}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{\text{ab}}}{b}.\]

\[И\ в\ числителе,\ и\ в\ знаменателе\ \]

\[дроби\ рациональные\ числа:\]

\[\sqrt{\frac{a}{b}} - рациональное\ число.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ Дробь\ \sqrt{\frac{a}{b}} - иррациональна,\ \]

\[если\ иррационально\ число\ \sqrt{\text{ab}}:\]

\[\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a \bullet b}{b \bullet b}} = \sqrt{\frac{\text{ab}}{b^{2}}} = \frac{\sqrt{\text{ab}}}{b}.\]

\[В\ числителе\ дроби\ находится\ \]

\[иррациональное\ число,\ а\ в\]

\[знаменателе - рациональное:\]

\[\sqrt{\frac{a}{b}} - иррациональное\ число.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]