Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Алимов Задание 903

\[\boxed{\mathbf{903}\mathbf{.}}\]

\[1)\ y = \frac{x^{3}}{x^{2} + 3}\]

\[y^{'}(x) =\]

\[= \frac{3x^{2} \bullet \left( x^{2} + 3 \right) - x^{3} \bullet 2x}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} =\]

\[= \frac{3x^{4} + 9x^{2} - 2x^{4}}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}} = \frac{9x^{2} + x^{4}}{\left( x^{2} + 3 \right)^{2}}.\]

\[x^{2} + 3 > 0\]

\[x^{2} > - 3 - при\ любом\ \text{x.}\]

\[Ответ:\ \ возрастает\ \]

\[на\ ( - \infty;\ + \infty).\]

\[2)\ y = \frac{(x - 2)(8 - x)}{x^{2}} =\]

\[= \frac{8x - x^{2} - 16 + 2x}{x^{2}} =\]

\[= - \frac{x^{2} - 10x + 16}{x^{2}}\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[- \left( 10x^{2} - 32x \right) > 0\]

\[10x^{2} - 32x < 0\]

\[x \bullet (10x - 32) < 0\]

\[0 < x < 3,2.\]

\[Ответ:\ \ возрастает\ на\ (0;\ 3,2)\ и\ \]

\[убывает\ \]

\[на\ ( - \infty;\ 0) \cup (3,2;\ + \infty).\]

\[3)\ y = (x - 1) \bullet e^{3x}\]

\[y^{'}(x) =\]

\[= (x - 1)^{'} \bullet e^{3x} + (x - 1) \bullet \left( e^{3x} \right)^{'}\]

\[y^{'}(x) = 1 \bullet e^{3x} + (x - 1) \bullet 3e^{3x} =\]

\[= e^{3x} \bullet \left( 1 + 3(x - 1) \right) =\]

\[= e^{3x} \bullet (1 + 3x - 3) =\]

\[= e^{3x} \bullet (3x - 2).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[3x - 2 > 0\]

\[3x > 2\]

\[x > \frac{2}{3}.\]

\[Ответ:\ \ возрастает\ на\ \left( \frac{2}{3};\ + \infty \right)\ \]

\[и\ убывает\ на\ \left( - \infty;\ \frac{2}{3} \right).\]

\[4)\ y = x \bullet e^{- 3x}\]

\[y^{'}(x) = (x)^{'} \bullet e^{- 3x} + x \bullet \left( e^{- 3x} \right)^{'}\]

\[y^{'}(x) =\]

\[= 1 \bullet e^{- 3x} + x \bullet ( - 3) \bullet e^{- 3x} =\]

\[= e^{- 3x} \bullet (1 - 3x).\]

\[Промежуток\ возрастания:\]

\[1 - 3x > 0\]

\[3x < 1\ \]

\[x < \frac{1}{3}.\]

\[Ответ:\ \ возрастает\ на\ \left( - \infty;\ \frac{1}{3} \right)\ \]

\[и\ убывает\ на\ \left( \frac{1}{3};\ + \infty \right).\]