Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 850

\[\boxed{\mathbf{850}.}\]

\[1)\ \left\{ \begin{matrix} \lg x - \lg y = 7 \\ \lg x + \lg y = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\lg x - \lg y = 7\]

\[\lg x = 7 + \lg y\]

\[Подставим\ во\ второе\]

\[\ уравнение:\]

\[7 + \lg y + \lg y = 5\]

\[2\lg y = - 2\]

\[\lg y = - 1.\]

\[\left\{ \begin{matrix} \lg x = 7 - 1 \\ \lg y = - 1\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} \lg x = 6\ \ \ \\ \lg y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 10^{6}\text{\ \ } \\ y = 10^{- 1} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:\left( 10^{6};10^{- 1} \right).\]

\[2)\ \left\{ \begin{matrix} \log_{2}x + \frac{1}{2}\log_{2}\frac{1}{y} = 4 \\ xy = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\log_{2}x + \frac{1}{2}\log_{2}\frac{1}{y} = 4\]

\[\log_{2}\frac{x}{\sqrt{y}} = 4\]

\[\frac{x}{\sqrt{y}} = 2^{4}\]

\[x = 16\sqrt{y}.\]

\[Подставим\ во\ второе\]

\[\ уравнение:\]

\[16\sqrt{y} \cdot y = 2\]

\[16\sqrt{y^{3}} = 2\]

\[\sqrt{y^{3}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}\]

\[y = \frac{1}{4}.\]

\[Найдем\ x:\]

\[x = 16 \cdot \sqrt{y} = 16 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} =\]

\[= 16 \cdot 2 = 8.\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 8 \\ y = \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:\left( 8;\frac{1}{4} \right).\]