Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 708
Задание 708
\[\boxed{\mathbf{708}.}\]
\[\mathbf{Н}а\ отрезке\ \lbrack - 3;\ 3\rbrack.\]
\[1)\ 9^{x} - 3^{x} - 6 > 0;\]
\[3^{2x} - 3^{x} - 6 > 0;\]
\[Пусть\ y = 3^{x}:\]
\[y^{2} - y - 6 > 0;\]
\[D = 1^{2} + 4 \bullet 6 = 1 + 24 = 25\]
\[y_{1} = \frac{1 - 5}{2} = - 2\ \ и\ \]
\[\ y_{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3;\]
\[(y + 2)(y - 3) > 0;\]
\[y < - 2\ \ и\ \ y > 3;\]
\[Первое\ значение:\]
\[3^{x} < - 2 - нет\ корней:\]
\[Второе\ значение:\]
\[3^{x} > 3;\]
\[3^{x} > 3^{1};\]
\[x > 1;\]
\[На\ искомом\ отрезке:\]
\[1 < x \leq 3;\]
\[Ответ:\ \ 2;\ \ 3.\]
\[2)\ 4^{x} - 2^{x} < 12;\]
\[2^{2x} - 2^{x} - 12 < 0;\]
\[Пусть\ y = 2^{x}:\]
\[y^{2} - y - 12 < 0;\]
\[D = 1^{2} + 4 \bullet 12 = 1 + 48 = 49\]
\[y_{1} = \frac{1 - 7}{2} = - 3\ \ и\ \ \]
\[y_{2} = \frac{1 + 7}{2} = 4;\]
\[(y + 3)(y - 4) < 0;\]
\[- 3 < y < 4;\]
\[Первое\ значение:\]
\[2^{x} > - 3 - при\ любом\ x;\]
\[Второе\ значение:\]
\[2^{x} < 4;\]
\[2^{x} < 2^{2};\]
\[x < 2;\]
\[На\ искомом\ отрезке:\]
\[- 3 \leq x < 2;\]
\[Ответ:\ \ - 3;\ \ - 2;\ \ - 1;\ \ 0;\ \ 1.\]
\[3)\ 5^{2x + 1} + 4 \bullet 5^{x} - 1 > 0;\]
\[5 \bullet 5^{2x} + 4 \bullet 5^{x} - 1 > 0;\]
\[Пусть\ y = 5^{x}:\]
\[5y^{2} + 4y - 1 > 0;\]
\[D = 4^{2} + 4 \bullet 5 = 16 + 20 = 36\]
\[y_{1} = \frac{- 4 - 6}{2 \bullet 5} = - \frac{10}{10} = - 1;\]
\[y_{2} = \frac{- 4 + 6}{2 \bullet 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5};\]
\[(y + 1)\left( y - \frac{1}{5} \right) > 0;\]
\[y < - 1\ \ и\ \ y > \frac{1}{5};\]
\[Первое\ значение:\]
\[5^{x} < - 1 - нет\ корней:\]
\[Второе\ значение:\]
\[5^{x} > \frac{1}{5};\]
\[5^{x} > 5^{- 1};\]
\[x > - 1;\]
\[На\ искомом\ отрезке:\]
\[- 1 < x \leq 3;\]
\[Ответ:\ \ 0;\ \ 1;\ \ 2;\ \ 3.\]
\[4)\ 3 \bullet 9^{x} + 11 \bullet 3^{x} < 4;\]
\[3 \bullet 3^{2x} + 11 \bullet 3^{x} - 4 < 0;\]
\[Пусть\ y = 3^{x}:\]
\[3y^{2} + 11y - 4 < 0;\]
\[D = 11^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 4 =\]
\[= 121 + 48 = 169\]
\[y_{1} = \frac{- 11 - 13}{2 \bullet 3} = - \frac{24}{6} = - 4;\]
\[y_{2} = \frac{- 11 + 13}{2 \bullet 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\]
\[(y + 4)\left( y - \frac{1}{3} \right) < 0;\]
\[- 4 < y < \frac{1}{3};\]
\[Первое\ значение:\]
\[3^{x} > - 4 - при\ любом\ x;\]
\[Второе\ значение:\]
\[3^{x} < \frac{1}{3};\]
\[3^{x} < 3^{- 1};\]
\[x < - 1;\]
\[На\ искомом\ отрезке:\]
\[- 3 \leq x < - 1;\]
\[Ответ:\ \ - 3;\ \ - 2.\]
