Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 430
Задание 430
\[\boxed{\mathbf{430}.}\]
\[\mathbf{Рисунок\ по\ условию\ задачи:}\]
\[Рассмотрим\ две\ соседние\ \]
\[окружности\ с\ центрами\ в\]
\[\ точках\ O_{n}\ и\ O_{n + 1}:\]
\[1)\ Радиусы\ окружностей\ \]
\[равны\ R_{n}\ и\ R_{n + 1}.\]
\[2)\ Пусть\ точка\ A - вершина\]
\[\ угла,\ и\ окружности\ касаются\]
\[\ одну\ из\ его\ \]
\[сторон\ в\ точках\ A_{n}\ и\ A_{n + 1}:\]
\[O_{n}A_{n} = R_{n}\text{\ \ }и\ \ O_{n + 1}A_{n + 1} = R_{n + 1}.\]
\[3)\ Опустим\ перпендикуляр\ \]
\[O_{n + 1}B\ на\ отрезок\ O_{n}A_{n}:\]
\[O_{n}B = O_{n}A_{n} - A_{n}B = O_{n}A_{n} -\]
\[- A_{n + 1}O_{n + 1} = R_{n} - R_{n + 1}.\]
\[4)\ Радиусы\ вписанных\ \]
\[окружностей\ лежат\ на\ \]
\[биссектрисе\ угла:\]
\[\angle O_{n}O_{n + 1}B = \angle O_{n}AA_{n} = 30{^\circ}.\]
\[5)\ Рассмотрим\ \]
\[прямоугольный\ треугольник\]
\[\ O_{n}O_{n + 1}B:\]
\[O_{n}B = \frac{1}{2}O_{n}O_{n + 1} =\]
\[= \frac{1}{2}\left( R_{n} + R_{n + 1} \right) =\]
\[= \frac{1}{2}R_{n} + \frac{1}{2}R_{n + 1};\]
\[R_{n} - R_{n + 1} = \frac{1}{2}R_{n} + \frac{1}{2}R_{n + 1}\text{\ \ }\]
\[\frac{1}{2}R_{n} = \frac{3}{2}R_{n + 1}\ \]
\[R_{n} = 3R_{n + 1};\]
\[q = \frac{R_{n + 1}}{R_{n}} = \frac{R_{n + 1}}{3R_{n + 1}} = \frac{1}{3}.\]
\[|q| < 1 \rightarrow последовательность\ \]
\[радиусов\ окружностей\]
\[составляет\ бесконечно\ \]
\[убывающую\ геометрическую\]
\[\ прогрессию.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Радиус\ n\text{-}ой\ окружности:\]
\[R_{n} = R_{1} \bullet q^{n - 1} = R_{1} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} =\]
\[= R_{1} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{n} \bullet \left( \frac{1}{3} \right)^{- 1} = \frac{3R_{1}}{3^{n}}.\]
\[Расстояние\ от\ центра\ первой\]
\[\ окружности\ до\ вершины\ угла.\]
\[1)\ Сумма\ радиусов\ всех\ \]
\[окружностей,\ кроме\ первой:\]
\[S = \frac{R_{1}}{1 - q} - R_{1} = \frac{R_{1}}{1 - \frac{1}{3}} - R_{1} =\]
\[= R_{1}\ :\frac{2}{3} - R_{1} = \frac{3}{2}R_{1} - R_{1} =\]
\[= \frac{1}{2}R_{1}.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \]
\[прямоугольный\ треугольник\]
\[\ AO_{1}A_{1}:\]
\[\angle O_{1}AA_{1} = 30{^\circ};\]
\[O_{1}A_{1} = \frac{1}{2}O_{1}\text{A\ \ \ }\]
\[\ O_{1}A = 2O_{1}A_{1} = 2R_{1}\]
\[O_{1}A = R_{1} + R_{1} = R_{1} + 2 \bullet \frac{1}{2}R_{1} =\]
\[= R_{1} + 2S = R_{1} +\]
\[+ 2\left( R_{2} + R_{3} + \ldots + R_{n} + \ldots \right).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[Ответ:\ \ R_{n} = \frac{3R_{1}}{3^{n}}.\]
