Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Задание 416

\[\boxed{\mathbf{416}.}\]

\[\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = 0\]

\[1)\ x_{n} = \frac{1}{n + 1}\]

\[|x_{n}| = \left| \frac{1}{n + 1} \right| < E\]

\[n + 1 > \frac{1}{E}\]

\[n > \left\lbrack \frac{1}{E} \right\rbrack\]

\[N_{E} = \left\lbrack \frac{1}{E} \right\rbrack.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[2)\ x_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}\]

\[|x_{n}| = \left| \frac{1}{\sqrt{n}} \right| < E\]

\[\sqrt{n} > \frac{1}{E}\]

\[n > \frac{1}{E^{2}}\]

\[n > \left\lbrack \frac{1}{E²} \right\rbrack + 1\]

\[N_{E} = \left\lbrack \frac{1}{E²} \right\rbrack + 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[3)\ x_{n} = \frac{1}{n^{3}}\]

\[|x_{n}| = \left| \frac{1}{n^{3}} \right| < E\]

\[n^{3} > \frac{1}{E}\]

\[n > \sqrt[3]{\frac{1}{E}\ }\]

\[n > \left\lbrack \sqrt[3]{\frac{1}{E}\ } \right\rbrack + 1\]

\[N_{E} = \left\lbrack \sqrt[3]{\frac{1}{E}\ } \right\rbrack + 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[4)\ x_{n} = \frac{n}{n² + 4}\]

\[\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{n^{2} + 4} =\]

\[= \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} = \frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{0}{1} = 0.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]